趣祝福范文大全(编辑 悠游诗人)我们认真研究了关于“一元二次方程的解教案”问题的资料,并整理了相关材料。教案和课件对于老师来说非常重要,因此在编写教案时需要花费一些时间。教案是将教学计划具体实施的方案。请根据本页面提供的信息进行适当的后续操作。
掌握b2—4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实根,反之也成立;b2—4ac=0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,反之也成立;b2—4ac
通过复习用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2—4ac=0、b2—4ac
1。重点:b2—4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实根;b2—4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数;b2—4ac
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2—4ac的情况与根的情况的关系。
(学生活动)用公式法解下列方程。
(1)2x2—3x=0 (2)3x2—2 x+1=0 (3)4x2+x+1=0
老师点评,(三位同学到黑板上作)老师只要点评(1)b2—4ac=9>0,有两个不相等的实根;(2)b2—4ac=12—12=0,有两个相等的实根;(3)b2—4ac=│—4×4×1│=
请观察上表,结合b2—4ac的符号,归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题,我们已经知道b2—4ac>0(
求根公式:x= ,当b2—4ac>0时,根据平方根的意义, 等于一个具体数,所以一元一次方程的x1= ≠x1= ,即有两个不相等的实根。当b2—4ac=0时,根据平方根的意义 =0,所以x1=x2= ,即有两个相等的实根;当b2—4ac
(1)当b2—4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即x1= ,x2= 。
(2)当b—4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根即x1=x2= 。
(3)当b2—4ac
分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2—4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。
这里a=16,b=8,c=3,b2—4ac=64—4×16×3=—128
不解方程判定下列方程根的情况:
(1)x2+10x+26=0 (2)x2—x— =0 (3)3x2+6x—5=0 (4)4x2—x+ =0
(5)x2— x— =0 (6)4x2—6x=0 (7)x(2x—4)=5—8x
例2。若关于x的一元二次方程(a—2)x2—2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)。
分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>—3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0。因为一元二次方程(a—2)x2—2ax+a+1=0没有实数根,即(—2a)2—4(a—2)(a+1)
解:∵关于x的一元二次方程(a—2)x2—2ax+a+1=0没有实数根。
∴(—2a)2—4(a—2)(a+1)=4a2—4a2+4a+8
a
本节课应掌握:
b2—4ac>0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根;b2—4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根;b2—4ac
1。教材P46 复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2。
1。以下是方程3x2—2x=—1的解的情况,其中正确的有( )。
2。一元二次方程x2—ax+1=0的两实数根相等,则a的值为( )。
3。已知k≠1,一元二次方程(k—1)x2+kx+1=0有根,则k的'取值范围是( )。
A。k≠2 B。k>2 C。k
1。已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________。
2。不解方程,判定2x2—3=4x的根的情况是______(填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”)。
3。已知b≠0,不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2—(2a+b)x+(a+ab—2b2)=0的根的情况是________。
1。不解方程,试判定下列方程根的情况。
2。当c
3。不解方程,判别关于x的方程x2—2kx+(2k—1)=0的根的情况。
4。某集团公司为适应市场竞争,赶超世界先进水平,每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金,该集团投入新产品开发研究资金为4000万元,销售总额为7。2亿元,求该集团20到20的年销售总额的平均增长率。
第一步:将已知方程化为一般形式,使方程右端为 0;
第二步:将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;
第三步:方程左边两个因式分别为 0,得到两个一次方程,它们的解就是原方程的解.
一般来说,一元二次方程往往可以用这样2种方法解答,特别是对配方来说,它可能更实用,普遍。
1.分解因式:
(1)x2-4x=_________; (2)x-2-x(x-2)=________ (3)m2-9=________;
3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是___________
4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1·x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于_______
5.已知y=x2+x-6,当x=________时,y的值为0;当x=________时,y的值等于24. 6.方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________.
2
了解一元二次方程的概念;一般式ax+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念;?应用一元二次方程概念解决一些简单题目.
1.通过设臵问题,建立数学模型,?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义. 2.一元二次方程的一般形式及其有关概念. 3.解决一些概念性的题目.
4.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 重难点关键
1.?重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题. 2.难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念. 教学过程
笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭。 有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。 借问竿长多少数,谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x?尺,?那么,?这个门的宽为_______?尺,长为_______?尺, ?根据题意,?得________. 整理、化简,得:__________. 二、探索新知
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们次数是几次? (3)有等号吗?还是与多项式一样只有式子? 老师点评:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的次数都是2次的;(3)?都有等号,是方程. 因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
2
一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0(a≠0)后,其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
2
分析:一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a≠0).因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
2
例2.(学生活动:请二至三位同学上台演练) 将方程(x+1)+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)+(x-2)(x+2)=1化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式. 解:略
=0 (4) x-4=(x+2) (5) ax+bx+c=0 x
例3.求证:关于x的方程(m-8m+17)x+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
2
分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m-8m+17?≠0即可.
? 练习: 1.方程(2a—4)x—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为
2.当m为何值时,方程(m+1)x+27mx+5=0是关于的一元二次方程 五、归纳小结(学生总结,老师点评) 本节课要掌握:
2
(1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0(a≠0)?和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用. 六、布臵作业
1.一元二次方程根的概念;
2.?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 教学目标
了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题. 提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题. 重难点关键
2.?难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
问题1.前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x-8x+20=0
老师点评(略) 二、探索新知 提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2?中一元二次方程的解是多少? (2)如果抛开实际问题,问题2中还有其它解吗?
老师点评:(1)问题1中x=2与x=10是x-8x+20=0的解,问题2中,x=4是x+7x-44=0的解.(2)如
果抛开实际问题,问题2中还有x=-11的解.
回过头来看:x-8x+20=0有两个根,一个是2,另一个是10,都满足题意;但是,问题2中的x=-11的根不满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
2
例1.下面哪些数是方程2x+10x+12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可.
2
解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x+10x+12=0的两根.
2
例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式(a+b+c)的值
练习:关于x的一元二次方程(a-1) x+x+a-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义. 解:略
教材 思考题 练习1、2.
四、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握:
(1)一元二次方程根的概念;
(2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根;
(3)要会用一些方法求一元二次方程的根.(“夹逼”方法;平方根的意义) 六、布臵作业
1.教材 复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9. 2.选用课时作业设计.
运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程. 教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
2
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解
2
2
1.重点:运用开平方法解形如(x+m)=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)=n(n≥0)的方程. 教学过程
(1)x-8x+______=(x-______);(2)9x+12x+_____=(3x+_____);(3)x+px+_____=(x+____). 问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(
问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程于一元一次方程有什么不同?二次如
4
上面我们已经讲了x=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=〒3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)=9,能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=〒3 即2t+1=3,2t+1=-3
例1:解方程:(1)(2x-1)=5 (2)x+6x+9=2 (3)x-2x+4=-1
分析:很清楚,x+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)=1.
2
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为x.?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10(1+x);二年后人均
2
住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x) 解:设每年人均住房面积增长率为x,
直接开平方,得1+x=〒1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.?我们把这种思想称为“降次转化思想”.
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,?那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营
2
业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x). 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
2
那么1+(1+x)+(1+x)=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得:
因为增长率为正数,
本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如x=p(p≥0),那么x=
解形如(mx+n)=p(p≥0),那么mx+n=
1.教材 复习巩固1、2.
学情分析:
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程,在此基础上本节课将从实际问题入手,抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
知识技能:
1、 理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
数学思考:
1、通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
2、通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
3、由知识来源于实际,树立转化的思想,由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
解决问题:
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.
情感态度:
1、培养学生自主自主学习、探究知识和合作交流的意识.
2、激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
教学重点:
一元二次方程的概念及一般形式.
教学难点:
1、由实际问题向数学问题的转化过程.
2、正确识别一元二次方程一般形式中的“项”及“系数”.
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽各为多少?
【分析】设长方形绿地的宽为x米,依题意列方程为:x(x+10)=900;
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册,预计至明年年底增加到7.2万册,求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x,依题列方程为:5(1+x)2=7.2;
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
【分析】全部比赛共4×7=28场,设应邀请x个队参赛,则每个队要与其它 (x-1)队各赛1场,全场比赛共场,依题意列方程得:;
(设计意图:在现实生活中发现并提出简单的问题,吸引学生的注意力,激发学生自主学习的兴趣和积极性。 同时通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。)
【探究】(1)上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 (填 “整式”“分式”等);
(2)方程整理后含有 一 个未知数;
(3)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是 二 次。
等号两边都是 整式 ,只含有 一 个求知数(一元),并且求知数的最高次数是 2 (二次)的方程,叫做一元二次方程。
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
【强调】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程,如果a=0,b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中,必须包含a≠0这个条件。
(设计意图:由于学生已熟练掌握了整式、分式、一元一次方程等概念,所以从未知数的个数及最高次数提问,引导学生归纳共同点是符合学生的认知基础的。学生的自主观察、比较、归纳是活动有效的保证,教学中应当让学生充分的探究和交流。同时,在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。)
【对应练习】判断下列方程,哪些是一元二次方程?哪些不是?为什么?
(1)x3-2x2+5=0; (2)x2=1;
(3)5x2-2x-=x2-2x+; (4)2(x+1)2=3(x+1);
(设计意图:此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念,同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程,首先要对其整理成一般形式,然后根据定义判断。)
【例1】 已知方程(a-3)x|a-1|-2x+5=0,当 a=-1 时,此方程是一元二次方程,当a=0,2或3 时,此方程是一元一次方程。
(设计意图:通过例1的学习,一是使学生进一步巩固一元二次方程的概念,并注意其最基本的条件:未知数的最高次数为2,二次项系数不为0;二是使学生了解一元二次方程与一元一次方程的联系与区别。在填第一个空时要让学生注意a值的取舍,填第二个空时要注意引导学生进行分类讨论。)
【例2】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.
其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10。
(设计意图:通过例2的学习,一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式,并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号;二是使学生进一步了解方程的变形过程。)
本节课你学了什么知识?从中得到了什么启示?
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件,否则,方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0,就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项,应先将方程化为一般形式。
1、下列方程,是一元二次方程的是 ①④⑤ 。
①3x2+x=20, ②2x2-3xy+4=0, ③, ④ x2=0, ⑤
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃,它的长比宽多10米,设花圃的宽为x米,则可列方程为x(x+10)=200,化为一般形式为x2+10x-200=0。
3、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则 m= -2 。
4、将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式为 2x2+2x-4=0 ,其中二次项是 2x2 ,二次项系数是 2 ,一次项是 2x ,一次项系数是 2 ,常数项是 -4 。
(设计意图:随堂检测学生对新知识的掌握情况,及时了解反馈和调整后续教学内容与教法。)
1、会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
(一)思考课本探究1回答下列问题:
(1)设每轮传染中平均一个人传染x个人,那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人;第一轮传染后,共有 人患了流感。
(2)在第二轮传染中,传染源是 人,这些人中每一个人又传染了 人,那么第二轮传染了 人,第二轮传染后,共有 人患流感。
(3)根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解?
(4)通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?
(5)完成教材思考:如果按照这样的传播速度,三轮传染后,有多少人患流感?
(学生在交流中解决问题,教师深入小组讨论,对疑惑较多的问题要点拨;前两个问是解题的关键,可作适当点拨。最后思考题,可让学生试试独立完成。教给学生如何审题,分析题。)
三、例题学习:
例1:青山村种的水稻20xx年平均每公顷产7200kg,20xx年平均每公顷产8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率。 (学生独立思考、练习。一学生板书,教师巡视后讲解)
例2:(教材探究2)两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
(给学生分组求解,然后比较哪个小组做的有快又准。最后比较哪种药品成本平均下降率较大。)
四、课堂练习:(学生独立思考、练习。一学生板书,教师巡视后讲解)
1、某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
2、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,奥执染中平均一个人传染了几个人?
1、列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有: (常见n=2)
教后记:
本节课是一元二次方程的应用第一课时。通过本节课的教学,总体感觉调动了学生的积极性,能够充分发挥学生的主体作用,以现实生活情境问题入手,激发了学生思维的火花,具体我以为有以下几个特点:
一、通过学生口答,复习了列方程解应用题的一般步骤及解一元二次方程的方法,为学习本节知识打好了基础。
二、问题探究通过问题串让学生解决的问题由浅入深,由易到难,也让学生解决问题的能力逐级上升,这样学生感到成功机会增加,从而有一种积极的学习态度,同时学生在学习中相互交流、相互学习,共同提高。
三、本节课第一个例题,是增长率问题中的一个典型例题,我在引导学生解决此题之后,进一步总结了列方程解应用题的步骤。不仅关注结果更关注过程,让学生养成良好的解题习惯。
四、在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念,同时用方程来解决问题,使学生树立一种数学建模的思想。
五、课堂上多给学生展示的机会,让学生走上讲台,向同学们展示自己的聪明才智。同时在这个过程中,更有利于发现学生分析问题与解决问题独到见解及思维误区,以便指导今后教学。总之,通过各种启发、激励的教学手段,帮助学生形成积极主动求知态度,课堂收效大。
六、需改进的方面:
1、由于怕完不成任务,给学生独立思考时间安排有些不合理,这样容易让思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。例如例2有多种解法,课后一些学生与老师交流,但课上没有得到充分的展示、
2、只考虑扑捉学生的思维亮点,一学生列错了方程,我没有给予及时纠正。导致使一些同学陷入误区、
3、下课后很多学生和我沟通课上一学生的错误问题,但他们上课并不敢提出,有点却场,所以平时要培养学生敢想敢说敢于发表个人的不同见解的学风。
本节内容是九年级数学第二章的第一课时,通过对本节课的学习,学生将掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项,是典型的概念教学课。
概念教学总是遵循这样的规律:引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念,在设计教学中也是遵循这一规律,通过学习、交流、应用、总结、检测这五个环节来完成教学任务。首先通过三个问题让学生建立一元二次方程顺利引入到新课;然后通过交流探究归纳出一元二次方程的概念,使学生体会到学习一元二次方程的必要性,探讨一元二次方程的一般形式及相关概念,并学会利用方程解决实际问题,从而获得本课的新知识;再次是通过两个例题达到巩固、运用概念的作用;最后通过总结与检测来深化学生所学知识,并运用到实际问题中去,使学生熟练掌握所学知识。
教学过程中,强调自主学习,注重合作交流,让学生与学生的交流合作在探究过程中进行,使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式,并获得数学活动的经验,提高探究、发现和创新能力。
1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )
2、已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( )
3、若α、β是方程x2+2x-=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为( )
4、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )
5、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是( )
6、已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根,那么k的最大整数值是( )
7、某城底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到底增加到363公顷,设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意所列方程正确的是( )
8、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,乙把常数项看错了,解得两根为2+ 和2- ,则原方程是( )
一、教材分析:
1、教材所处的地位:此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题,只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求:
(1)能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;
(2)能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理;
(3)经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述;
(4)通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点:
重点:列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点:发现问题中的等量关系。
二.教法、学法分析:
1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外,其余时间都坚持以学生为主体,充分发挥学生的主观能动性。教学过程中,教师只注重点、引、激、评,注重学生探究能力的培养。还课堂给学生,让学生去亲身体验知识的产生过程,拓展学生的创造性思维。同时,注意加强对学生的启发和引导,鼓励培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在,是如何寻求、抓准问题中的数量关系,从而准确列出方程来解答。因此课堂上从审题,找到等量关系,列方程等一系列活动都由生生交流,兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的,发掘学生的创新精神。
三.教学流程分析:
本节课是新授课,根据学生的知识结构,整个课堂教学流程大致可分为:
活动1复习回顾解决课前参与
活动2封面设计问题的探究
活动3草坪规划问题的延伸
活动4课堂回眸
这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程,让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
活动1复习回顾解决课前参与
由学生展示课前参与题目,集体订正。目的在于回顾常用几何图形的面积公式,并且引出本节学习内容——面积问题。
活动2封面设计问题的探究
通过学生自己独立审题,找寻等量关系,教师引导学生对“正中央矩形与封面长宽比例相同”题意的理解,使学生明白中央矩形长宽比为9:7,从而进一步突破难点:上下边衬与左右边衬比也为9:7,为学生设未知数提供帮助。之后由学生分组完成方程的列法,以及取法。讲解中注重简便设法及解法的指导与评价。
活动3草坪规划问题的延伸
放手给学生处理,以学生合作完成为主。突出利用平移变换为主的解决方式。多由学生分析不同的处理方法。
活动4课堂回眸
本课小结从内容、应用、数学思想方法,获取知识的途径等几个方面展开,既有知识的总结,又有方法的提炼,这样对于学生学知识,用知识是有很大的促进的。方法以学生畅谈收获为主。
教学目标:
1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型
2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
1、建立一元二次方程实际问题的数学模型.
教学过程:
一、自主探索:(学生通过自学,经历思考、讨论、分析的过程,最终形成一元二次方程及其有关概念)
1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容;整理化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点?
你能把这些特点用一个方程概括出来吗?
你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点?你还掌握了什么?
二、学以致用:(通过练习,加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握)
2、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程,如果是,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
3、若关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0是一元二次方程,则k的值是多少?
4、关于x的方程(k2-1)x2+2(k+1)x+2k+2=0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?
5、以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项,请你写出满足条件的不同的一元二次方程?
这节课你学到了什么?
1、下列方程中是一元二次方程的有A、1个B、2个 C、3个D、4个
(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________,系数为_______,一次项系数为______,常数项为______。
3、关于x的方程(m2-4)x2+(m+2)x+2m+3=0,当m__________时,是一元二次方程;当m__________时,是一元一次方程.
1、已知关于的方程是一元二次方程,则为何值?
2、.当m为何值时,方程(m+1)x+1+27mx+5=0是关x于的一元二次方程?
3、关于的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一根为,则的值多少?
4、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少,使图(1),(2)的草坪面积为540米2.?
课比赛,这次的优质课采用市里要求的1/3模式,这对于我们来说具有一定的挑战性。所谓“1/3模式”,就是把课堂教学时间大致分为3个部分,1/3的时间个人自主学习,1/3的时间小组合作学习,1/3的`时间全班交流讨论。在1/3模式中,整个教学过程由教师和学生共同参与,每个环节1/3的时间只是大致的划分,可根据学习内容灵活安排。这就对教师提出了较高的要求。
首先要准备好学案。学案就是学生学习的依据。在学案里,教师要提出明确的学习要求。学习要求可包括以下方面:完成学习任务的时间、学习内容的范围、完成学习任务所要达到的程度、自主学习成果展现的形式等。这就要求教师要提前考虑周全,对于学生学习的要求要一次性提出,内容上有梯度。学生自主学习时,教师要深入学生当中,观察学生的学习状况,检查学习任务完成的情况,提供有针对性的指导和帮助教师对自主学习方法和途径的指导要适度,既要满足学生完成学习任务的需要,又不能挤占学生自主探究的空间
其次,学习氛围是合作学习成功的关键之一,教师要营造安全的心理环境、充裕的时空环境、热情的帮助环境、真诚的激励环境,只就要求教师在语言上也要有较高水平,会发动学生,会调动学生的积极性,让课堂气氛活跃起来,让学生充分发挥自己的水平。
再是,由于课堂上主要是以学生为主。这就要求教师尽量少讲,要充当好组织者、引导者、倾听者的角色,不要急于发表自己的观点,只要学生能讲的教师就不要讲,要避免因为教师呈现自己的观点而打破学生的讨论。学生说完的东西,如果没有问题,教师就不要重复。教师对学习内容要点的讲解要有的放矢,能起到画龙点睛的作用。要在学生原有的水平上进行提升,有助于学生加深对知识的理解。
我们只有在教学中不断的学习,不断的改进自己,才能保证我们的课堂很精彩,是名副其实的优质课。
1. 知识结构:
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为 .因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.
1. 理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2. 通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
(1)平方根的性质是什么?
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ,因此对于被开方数 来说,只需研究 为如下几种情况的方程的根。
(2)当 时,方程有两个相等的实数根,即 。
(3)当 时,方程没有实数根。
3.①定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号“ ”表示。
②一元二次方程 。
当 时,有两个不相等的实数根;
当 时,有两个相等的实数根;
当 时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1) 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当 ,说“方程 没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。
例1 不解方程,判别下列方程的根的情况:
∴原方程有两个不相等的实数根。
。
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就“解二元一次方程组的教案”而言,大家一定要多加了解。下面趣祝福小编为大家讲解,欢迎您阅读本文,并建议将其收藏备用。每位老师都需要为每堂课准备教案和课件,这是必要的。同样,学生在教学过程中的表现也是非常重要的。
2、灵活运用代入法的技巧.
1、二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数,。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的.思想,叫做____________。
2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做________,简称_____。
1、将方程5x-6y=12变形:若用y的式子表示x,则x=______,当y=-2时,x=_______;若用含x的式子表示y,则y=______,当x=0时,y=________ 。
2、在方程2x+6y-5=0中,当3y=-4时,2x= ____________。
3、若 的解,则a=______,b=_______。
4、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解,则x=____,y=____。
5、用代人法解方程组 ①②,把____代人____,可以消去未知数______。
6、已知方程组 的解也是方程组 的解,则a=_______,b=________ ,3a+2b=___________。
7、已知x=1和x=2都满足关于x的方程x2+px+q=0,则p=_____,q=________ 。
8、当k=______时,方程组 的解中x与y的值相等。
A. B. C. D.
2、已知二元一次方程3x+4y=6,当x、y互为相反数时,x=_____,y=______;当x、y相等时,x=______,y= _______ 。
3、若2ay+5b3x与-4a2xb2-4y是同类项,则a=______,b=_______。
4、对于关于x、y的方程y=kx+b,k比b大1,且当x= 时,y= ,则k、b的值分别是( )
6、如果(5a-7b+3)2+ =0,求a与b的值。
7、已知2x2m-3n-7-3ym+3n+6=8是关于x,y的二元一次方程,求n2m
8、若方程组 与 有公共的解,求a,b.
本节的教学重点是使学生学会用代入法.教学难点 在于灵活运用代入法,这要通过一定数量的练习来解决;另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后,不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便.
解二元一次方程组的关键在于消元,即将“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法,消去一个未知数,从而求得原方程组的解.
1.关于检验方程组的解的问题.教材指出:“检验时,需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看看方程的左、右两边是不是相等.”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点.检验的作用,一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法,通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念,强调
这一对数值才是原方程组的解,并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等;三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换(等式的传递)来解方程组的,所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解;四是为了杜绝变形和计算时发生的错误.检验可以口算或在草稿纸上演算,教科书中没有写出.
2.教学时,应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元,即把“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法,消去一个未知数,从而求得原方程组的解.早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法,这样,学生就能有较强的目的性.
3.教师讲解例题时要注意由简到繁,由易到难,逐步加深.随着例题由简到繁,由易到难,要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.这样不仅可以求解迅速,而且可以减少错误.
1.掌握用代入法解二元一次方程组的步骤.
2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.
1.培养学生的分析能力,能迅速在所给的二元一次方程组中,选择一个系数较简单的方程进行变形.
2.训练学生的运算技巧,养成检验的习惯.
通过本节课的学习,渗透化归的数学美,以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美.
2.学生学法:在前面已经学过一元一次方程的解法,求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程,故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.
如何“消元”,把“二元”转化为“一元”.
一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法,另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形:
1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量,并比较哪种表示形式更简单,如 等.
2.通过课本中香蕉、苹果的应用问题,引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组,并通过比较、尝试,探索出化二元为一元的解方程组的方法.
3.再通过比较、尝试,探索出选一个系数较简单的方程变形,通过代入法求方程组解的办法更简便,并寻找出求解的规律.
本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解.
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法,从而导入 运用代入法化二元为一元方程的求解过程,即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.
(1)已知方程 ,先用含 的代数式表示 ,再用含 的代数式表示 .并比较哪一种形式比较简单.
A. B. C. D.
【教法说明】 第(1)题为用代入法解二元一次方程组打下基础;第(2)题既复习了上节课的重点,又成为导入 新课的材料.
通过上节课的学习,我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么,已知一个二元一次方程组,应该怎样求出它的解呢?这节课我们就来学习.
这样导入 ,可以激发学生的求知欲.
香蕉的售价为5元/千克,苹果的售价为3元/千克,小华共买了香蕉和苹果9千克,付款33元,香蕉和苹果各买了多少千克?
学生活动:分别列出一元一次方程和二元一次方程组,两个学生板演.
上面的一元一次方程我们会解,能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢,由方程①可以得到 ③,把方程②中的 转换成 ,也就是把方程③代入方程②,就可以得到 .这样,我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程,由这个方程就可以求出 了.
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较,向学生展示了知识的发生过程,这对于学生知识的形成十分重要.
上面解二元一次方程组的方法,就是代入消元法.你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗?
学生活动:小组讨论,选代表发言,教师进行指导.纠正后归纳:设法消去一个未知数,把二元一次方程组转化为一元一次方程.
(2)把①代入②后可消掉 ,得到关于 的一元一次方程,求出 .
∴
如何检验得到的结果是否正确?
教师:要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中.
【教法说明】给出例1后提出的三个问题,恰好是学生的思维过程,明确了解题思路;教师板演例1,规范了解二元一次方程组的解题格式;通过检验,可使学生养成严谨认真的学习习惯.
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后,代入另一个方程中才能消元.方程②中 的系数是1,比较简单.因此,可以先将方程②变形,用含 的代数式表示 ,再代入方程①求解.
教师巡视指导,发现并纠正学生的问题,把书写过程规范化.
∴
∴
检验后,师生共同讨论:
(1)由②得到③后,再代入②可以吗?(不可以)为什么?(得到的是恒等式,不能求解)
(2)把 代入①或②可以求出 吗?(可以)代入③有什么好处?(运算简便)
学生活动:根据例1、例2的解题过程,尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤,讨论后选代表发言.之后,看课本第12页,用几个字概括每个步骤.
练习:P13 1.(1)(2);P14 2.(1)(2).
①由 可以得到用 表示 .
②在 中,当 时, ;当 时, ,则 ; .
1.解二元一次方程组的思想:
2.用代入法解二元一次方程组的步骤.
通过这节课的学习,我们要熟练运用代入法解二元一次方程组,并能检验结果是否正确.
(一)必做题:P15 1.(2)(4),2.(1)(2)(3)(4).
(二) ,
一、教材分析
1、教材的地位与作用:本节内容是在学生掌握了二元一次方程方程组的有关概念之后讲授的,用代入消元法解二元一次方程方程组是学生接触到的解方程组的第一种方法,消元体现了化未知为已知的重要思想。它是本章学习的重点和难点,也为解决现实问题提供了方便,同时为以后学习函数、线性方程组以及高次方程组奠定了基础。
2、教学目标:根据新课标要求以及学生的认知水平,我确定了如下了三维教学目标:
(1)知识与技能:
①会用代入法解二元一次方程组;
②能初步体会代入法解二元一次方程组的基本思想—“消元”。
(2)过程与方法:
①培养学生基本的运算技巧和能力;
②培养学生观察、比较、分析、综合能力,以及运用旧知识解决新问题的能力。
(3)情感、态度、价值观:鼓励学生积极主动的参与整个“教”与“学”的过程,通过研究解决问题的方法,培养学生的合作交流意识与探索精神。
3、教学重点、难点:
重点:会用代入法解二元一次方程组。
难点:在“消元”的过程中能够判断消去哪个未知数,使得解方程组的运算转为较简便。探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
二、教法与学法
根据七年级学生的思维能力较单一,教学学习活动中归纳能力较差这一特点,本节课主要采取“探究发现式”教学方法,在教学过程中,采用“问题——实践——交流合作——说理——练习”的教学流程。老师对学生在课堂中表现予以帮助与评价,鼓励学生积极主动地参与教学过程。在探索、交流中获取新知。对于学生最重要的是让他们学会学习,因此教学中主要采用了教师引导学生动手实践,自主探索与合作交流的学习方法,在学习过程中充分调动学生从事数学活动的时间和空间,让学生乐于思考、勤于动手,自主的交流与合作,在实践中掌握解二元一次方程组的方法,从面获得新知。使每一个学生都能得到充分的发展。
三、教学过程
第一环节:创设情境,导入新课
引例:篮球联赛中,化育节要到了,蓝球是初一(1)班的拳头项目,为了取得好名次,他们想在全部22场比赛中得到40分。已知每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,那么初一(1)班胜负场数分别是多少?
设置问题:
(1)问题中有几个未知数?
(2)若设胜X场,如何列出一元一次方程求解?
(3)若设胜X场,负的为Y场,列出的二元一次方程组又是什么?
(4)列出来的一元一次方程我们会解,那么又如何去解这个二元一次方程组呢?
问题(2)和(3)让两个学生上黑板列出方程并解方程(1),而问题(3)让学生列出方程组即可,最后一问有意设置矛盾,让学生处于积极思维状态,但一时又难以给出正确的答案。从而引出本节课题:消元。
(通过问题引起学生注意,同时把学生带入新课的学习情境中,刺激学生对身边发生的问题所蕴含的数学知识的兴趣,注重数学来源于生活的理念.通过创设问题情境自然地揭示新课课题,激发学生求知欲望,同时为本节课的学习打下了良好的思想基础)
第二环节:师生合作,探究新知
问题1:因为胜负场数和是22场,所列的方程除了X+Y=22外还有其他哪种形式?
在学生回答出Y=22—X和X=22—Y,教师接着提问;由这个二元一次方程组
x+y=22①
2x+y=40②
能不能得到方程2X+(22—X)=38?如何得到?提出问题后,将学生分成小组讨论,教师深入学生的讨论中,引导学生观察。例如:从设未知数表示数量关系的角度或从二元一次方程组与一元一次方程的结构上观察。学生通过对比观察体会到一元一次方程与二元一次方程组之间的联系,学生回答后,马上暴露知识发生过程:(1)Y=22—X
(2)用22—X替换方程2X+Y=40中的Y,即把Y=22—X代入2X+Y=40
问题2:
(1)这时,方程组转变为什么方程?哪个未知数的值可以先求出来?从哪里求?问题解完了吗?
(2)另一个未知数的值如何求?引导学生回答以上问题后,师生共同完成解答过程,并将结果与前面列一元一次方程求出的结果对照。
(通过问题的提出,给学生提供从事数学活动的机会,激发学生思考,体现数学知识的形成与过程,引导学生观察、比较,分析问题,鼓励学生思考、合作与交流,有利于学生理解与掌握相关知识与方法,形成良好的数学思维习惯。
通过演示,提出问题,让学生积极地动脑、动手、动口。在教师的引导下,学生通过观察、分析、比较并积极思考解决问题的方法,有助于学生理解和掌握由二元一次方程组化为一元一次方
程的过程,从而明确消元思想——由二元化为一元——由未知化为已知。)
第三环节:师生合作,发现规律
结论:这种将“二元”转化为“一元”的思想方法,我们称为消元法(并板书课题),在消元法中我们消去一个未知数,消元是我们解方程组的关键。进而提示:我们是如何消元的?引导学生去发现,把一个方程中的某一个未知数用另一个未知数表示后代入另一个方程,消去一个未知数,这种消元法我们称之为代入消元法。
(这样归纳后,学生对解方程组的思路就会较清晰,能够顺利地实现目标,同时也会对这种方法表现极大兴趣)
第四环节:典例分析,规范步骤
让学生自学课本97页例1,规范解题步骤,然后根据云图中提出的问题积极思考明确问题答案,此环节的目的是为了培养学生良好的自学习惯,体现学生的学习活动。然后教师提出问题:
①方程组是如何变形的?还有其他变形方法吗?
②将已求出的未知数的值代入哪一个方程解出另一个未知数更简便呢?
③你能先求出的值吗?
③何检验你求出的结果是否正确?
(通过提出这一系列的问题,使学生对代入消元法解二元一次方程组的步骤更加明确。通过另一种解法,让学生体会一题多解,从而达到举一反三的目的。选择适当变形方式,使运算简便。其目的是让学生意识到代入消元法有时可消去x有时可消去y。目的是为了培养学生良好的检验习惯。)
第五环节:熟练技能,升华提高
要求学生练习课本98页第一题(再加一问,用含的代数式表示,体会哪一种表示方法更为简便)。第2题采用学生板演,学生自我批改的形式。在掌握了本节课知识点的基础之上,完成当堂达标测试题。
第六环节:归纳小结,布置作业
1。从本节课中你学到了解二元一次方程组的哪种方法?其基本思想是什么?主要步骤有哪些?要求同学之间互相交流讨论。
2。必做题课本103页
选做题课本99页3,4
(作业分必做和选做是为了在巩固本节所学知识的前提下,考虑不同学生的需求。)
四、板书设计
8.2消元——二元一次方程组的解法(一)
Y=4
Y=22—x
变形
设胜了x场,负y场,x+y=22①代入
2x+y=40②
设胜了x场,则负
(22—x)场,则消元
2x+(22—x)=40③x=18(说明:由于此编辑窗口不能插入线条,所以图示中没有带箭头的线条,请谅解。)
五、时间分配
1、创设情景,引入新课(5分)
2、师生合作,探求新知(10分)
3、师生合作,发现规律(3分)
4、典例分析,规范步骤(10分)
5、熟练技能,升华提高(10分)
6、归纳小结,作业布置(2分)
六、设计说明
本节课教学按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的解法(代入消元法)——典型例题——归纳代入法”的思路进行设计。在教学过程中,充分调动学生的学习积极性,重视知识的发生过程,让学生认知内化,形成能力。将设未知数求一元一次方程的过程与解二元一次方程组的过程进行比较,在复习旧知识的同时获的新知,取得了良好的教学效果。
教学目标:
1、使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2、通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的优越性。
重点:能根据题意列二元一次方程组;根据题意找出等量关系;
难点:正确发找出问题中的两个等量关系
教学过程:
一、复习
列方程解应用题的步骤是什么?
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
新课:
看一看课本99页探究1
问题:
1题中有哪些已知量?哪些未知量?
2题中等量关系有哪些?
3如何解这个应用题?
本题的等量关系是(1)30只母牛和15只小牛一天需用饲料为675kg
(2)(30+12只母牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940
练一练:
1、某所中学现在有学生4200人,计划一年后初中在样生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校学生将增加10%,这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人?
2、有大小两辆货车,两辆大车与3辆小车一次可以支货15。50吨,5辆大车与6辆小车一次可以支货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?
3、某工厂第一车间比第二车间人数的少30人,如果从第二车间调出10人到第一车间,则第一车间的人数是第二车间的,问这两车间原有多少人?
4、某运输队送一批货物,计划20天完成,实际每天多运送5吨,结果不但提前2天完成任务并多运了10吨,求这批货物有多少吨?原计划每天运输多少吨?
一、教材分析
1.教材的地位与作用
二元一次方程组是新人教版七年级数学(下)第八章第一节的内容。在此之前,学生已学习了一元一次方程,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容主要学习和二元一次方程组有关的四个概念。本节内容既是前面知识的深化和应用,又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的预备知识,占据重要的地位,是学生新的方程建模的基础课,为今后学习一次函数以及其他学科(如:物理)的学习奠定基础,同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用,因此本节课具有承上启下的作用。
2.教学目标
[知识技能]
掌握二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念,通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组也是反映数量关系的重要数学模型。
[数学思考]
体会实际问题中二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型,能感受二元一次方程(组)的重要作用。
[解决问题]
通过对本节知识点的学习,提高分析问题、解决问题和逻辑思维能力。
[情感态度]
引导学生对情境问题的观察、思考,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心。
3.教学重点与难点
按照《课程标准》的要求,根据上述地位与作用的分析及教学目标,本节课中相关概念的掌握是教学重点。
通过学生亲身体验,理解二元一次方程(组)解的个数的确定。
二、学情分析
七年级学生思维活跃,好奇心强,希望平等交流研讨,厌烦空洞的说教。因此,在教学过程中,积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式,激发他们的兴趣。一方面通过学案与课件,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面创造条件和机会,让学生自主练习,合作交流,培养学生学习的主动性、与人合作的精神,激发学生的兴趣和求知欲,感受成功的乐趣。
三、教法与学法
1.教法
数学课程标准明确指出:有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。所以我在教学中不只传授知识,更要激发学生的创造思维,引导学生探究,发现结论的方法。正所谓“教是为了不教”。所以我采用引导发现法为主,情景问答法、讨论法、活动竞赛法、利用多媒体课件辅助教学等完成本节的教学,真正做到教师的主导地位。
2.学法
学生是学习的主体,所以本节教学中,引导学生自主探究、归纳总结,运用自主探索与合作交流开拓自己的创造思维。这样调动学生的积极性,激发学生兴趣,使学生由被动学习变为积极主动的探究,这也符合数学的直观性和形象性。
四、教学过程与课堂活动
为了达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为五个环节:
1。创设情境,引入概念
NBA篮球联赛情景再现,利用世界男篮亚裔球星林书豪激励学生相信自已能够创造奇迹的励志教育,感受数学来源于生活,调动学生顺利引入新课。
2。观察归纳,形成概念
概念的教学,不纠缠于其语言本身,而是通过类比整合形成新的概念。由于学生对一元一次方程概念已经很了解,我主要采用了类比的方法,弱化概念的教学,强化对概念的正确理解,通过学案与课件相结合的方式,以题组形式分层渐进式训练,让学生明晰概念,巩固概念,强化概念,提升能力。
3拓展延伸,深入概念
知识的掌握,能力的提升是一个不断循序上升的过程,而教学过程更是一个生动活沷,主动和富有个性的过程,让学生认真听讲、积极思考,动脑动口,自主探索,合作交流。
4.当堂检测,强化概念
通过课堂随机选题的形式答题,通过合作小组交流,全班展示交流,使学生互相学习、互相促进、互相竞争,将小组的认知成果转化为全班同学的共同认知成果,从而营造宽松、民主、竞争、快乐的学习氛围,让学生体验到学习的快乐,成功的喜悦,从而充分体现数学教学主要是学生数学活动教学的基本理念。
5.反思小结,回归概念
知识性内容的小结,可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质;数学思想方法的小结,可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用,培养学生形成完整的知识体系,养成及时反思的习惯。
五、教后反思
美国国家研究委员会在《人人关心数学教育的未来》的报告中指出“没有一个人能教好数学,好的教师不是在教数学,而是在激发学生自已去学数学”。只有学生通过自已的思考建立对数学的理解力,才能真正的学好数学。本节课,我致力于让学生自已去发现数学,研究数学,加强数学思想、方法及科学研究方法的指导,引导学生不断从“学会数学”到“会学数学”,但教无止境,课堂仍然留有遗憾,在今后的教学中,我将从这样的三个方面加强对课堂的研究:
一是加强对学法研究、学情研究,让教学方式与内容更符合学生认知规律,更贴近学生实际;
二是重视学生课堂的学习感受,营造民主、开放、合作、竞争的学习氛围;;
三是提高教学机智、不断创新优化教学方法,科学、合理、灵活地处理课堂上生成的问题。
教学目标:通过学生积极思考,互相讨论,经历探索事物之间的数量关系,形成方程模型,解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点:让学生实践与探索,运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
难点:寻找等量关系
教学过程:
看一看:课本99页探究2
问题:1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1:1、5”是什么意思?
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3:4”是什么意思?
3、本题中有哪些等量关系?
提示:若甲种作物单位产量是a,那么乙种作物单位产量是多少?
思考:这块地还可以怎样分?
练一练
一、某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花、和蔬菜,已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表:
农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入奖金
水稻4人1万元
棉花8人1万元
蔬菜5人2万元
已知该农场计划在设备投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
问题:题中有几个已知量?题中求什么?分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜?
教材106页:探究3:如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/(吨?千米),铁路运价为1.2元/(吨?千米),这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
一、课堂练习
教材P98练习1、2题,P99练习第3、4题
解下列方程组
(1)(2)(3)
二、作业布置
教材P103习题8.2第1、2、4、6题。
三、自我检验
(一)填空题
1、在方程中,若用x表示y,则y=__________________,若用y表示x,则x=____________.
2、用代入法解方程组较简单的解法步骤为:先把方程______变为_________________,再代入方程________,求得_______的值,然后再求_________的值。
3、二元一次方程组的解为_______________。
4、若是方程组的解,则m=_________,n=__________。
5、在方程中,若x与y互为相反数,则x=_______,y=___________。
6、从方程组中消去m,得x与y的关系式为_____________________。
7、如果方程组的解是方程的一个解,则m=________________。
8、用代入法解方程组由得到用x的式子表示y是:_______________________。
(二)选择题
1、用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是()
A、由得B、由得C、由得D、由得
2、用代入法解方程组时,代入正确的是()
A、B、C、D、
3、解方程组的最佳方法是()
A、由得再代入B、由得再代入
C、由得再代入D、由得再代入
4、方程的一个解与方程组的解相同,由m等于()
A、4B、3C、2D、1
5、如果是方程组的解,那之间的关系是()
A、B、C、D、
6、在式子中,当时,其值为3,当时,其值是4,当时,其值为()
A、B、C、D、
7、某校八年级学生在会议室开会,若每排坐12人,则有11人无处从,若每排从14人,则余1人独从一排,则这个年级的学生总数为()
A、133B、144C、155D、166
(三)解答题
1、用代入消元法解下列方程组:
(1)(2)(3)
2、已知方程组的解中x与y互为相反数,求m的值。
3、已知方程组的解是方程的一个解,求a的值。
4、已知方程组与方程组有相同的解,求a、b的值。
5、解下列方程组的过程中,是否有错误,如有错误,请指出来。
解方程组
解:由①得
把代入中,
∴y是任意数
∴x是任意数
因此方程组有无数个解
6、若求的值。
7、一个两位数,十位上的数字比个位数字大2,若将十位数了和个位数字交换位置,所得的数比原数的多3,求这个两位数。
8、甲、乙两人同解方程组,甲正确解得,乙因抄错C,解得,求A、B、C的值。
9、已知等式对于一切数都成立,求A、B的值。
10、根据有关信息求解:
(1)根据图中给出的信息,求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格。
(2)用八块相同的长方形地砖拼成了一个大长方形,求每块地砖的长和宽。
教学目标:通过学生积极思考,互相讨论,经历探索事物之间的数量关系,形成方程模型,解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点:让学生实践与探索,运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题
难点:寻找等量关系
教学过程:
看一看:课本99页探究2
问题:1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1:1、5”是什么意思?
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3:4”是什么意思?
3、本题中有哪些等量关系?
提示:若甲种作物单位产量是a,那么乙种作物单位产量是多少?
思考:这块地还可以怎样分?
练一练
一、某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花、和蔬菜,已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表:
农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入奖金
水稻4人1万元
棉花8人1万元
蔬菜5人2万元
已知该农场计划在设备投入67万元,应该怎样安排这三种作物的种植面积,才能使所有职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
问题:题中有几个已知量?题中求什么?分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜?
教材106页:探究3:如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1、5元/(吨?千米),铁路运价为1、2元/(吨?千米),这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
小明买了两份水果,一份是3kg苹果、2kg香蕉,共用去13.2元;另一份是2kg苹果、5kg香蕉,共用去19.8元。设苹果x元/kg,香蕉y元/kg.列出方程。
新课讲解:
列出方程组
1、解方程组
分析:关键的`出方程〈1〉中的2y与方程〈2〉中的-2y互为相反数。想象出如果相加两个方程,会是什么结果?
板演:
解:〈1〉+〈2〉得:
4x=6
x=
把x= 代入〈1〉得
+2y=1
解出这个方程,得
y=
所以原方程组的解是
2、解方程组
通过议一议,让学生都有感觉消去含x或y的项都可以,但哪个更简便?
解:〈1〉 3,得
15x-6y=12 〈3〉
〈2〉 2,得
4x-6y=-10 〈4〉
〈3〉-〈4〉,得
11x=22
x=2
将x=2代入〈1〉,得
5 2-2y=4
y=3
所以原方程组的解是
加减消元法:把方程组的两个防城(或先作适当变形)相加或相减,消去其中一个未知数,把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。
练一练:
解方程组
小结:
加减消元法关键是如何消元,化二元为一元。
先观察后确定消元。
教学素材:
A组题:解下列方程组:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
B组题:运用转化的思想方法,你能解下面的三元一次方程组吗?
(1)
(2)
学生读题,议一议
学生想一想,如感到困难则看道简单题。
由学生观察,如何求出x,y的值,学生再讨论。
试一试。学生口述。
老师板演
得到一元一次方程
学生再观察,议一议
①消去哪个未知数
②怎样消去?
P112 1(1)(2)(3)(4)
作业习题11.3 P112 1(3)(4) 3 , 4
教学目标
1.会列二元一次方程组解简单的应用题并能检验结果的合理性。
2.提高分析问题、解决问题的能力。
3.体会数学的应用价值。
教学重点
根据实际问题列二元一次方程组。
教学难点
1.找实际问题中的相等关系。
2.彻底理解题意。
教学过程
一、引入。
本节课我们继续学习用二元一次方程组解决简单实际问题。
二、新课。
例1. 小琴去县城,要经过外祖母家,头一天下午从她家走到个祖母家里,第二天上午,从外外祖母家出发匀速前进,走了2小时、5小时后,离她自己家分别为13千米、25千米。你能算出她的速度吗?还能算出她家与外祖母家相距多远吗?
探究: 1. 你能画线段表示本题的数量关系吗?
2.填空:(用含S、V的代数式表示)
设小琴速度是V千米/时,她家与外祖母家相距S千米,第二天她走2小时趟的路程是______千米。此时她离家距离是______千米;她走5小时走的路程是______千米,此时她离家的距离是________千米。
3.列方程组。
4.解方程组。
5.检验写出答案。
讨论:本题是否还有其它解法?
三、练习。
1.建立方程模型。
(1)两在相距280千米,一般顺流航行需14小时,逆流航行需20小时,求船在静水中速度,水流的速度
(2)420个零件由甲、乙两人制造。甲先做2天后,乙加入合作再做2天完成,乙先做2天,甲加入合作,还需3天完成。问:甲、乙每天各做多少个零件?
2.P38练习第2题。
3.小组合作编应用题:两个写一方程组,另两人根据方程组编应用题。
四、小结。
本节课你有何收获?
一、说教材
本节课讲的是七年级《数学》下册第八章第三节的第一课时——用二元一次方程组解决实际问题,在学生已经熟练掌握二元一次方程组的解法的基础上,通过对实际问题审,设,列,解,答;经历建立二元一次方程组这种数学模型解决实际问题的过程,体验用方程组解决实际问题的一般方法,进一步提高分析问题与解决问题的能力,进而增强数学应用的意识。
二、说教学目标
(知识与技能)
1.经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型;
2.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组;
(过程与方法)
学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答
(情感态度与价值观)
培养分析、解决问题的能力,体会二元一次方程组的应用价值,感受数学文化。
三、说教学重、难点
(教学重点)以方程组为工具分析,解决含有多个未知数的实际问题
(教学难点)确定解题策略,比较估算与精确计算
四、说教法
教法设计:回顾练习(5分钟),自主探究(5分钟),小组交流(5分钟),成果展示(10分钟),疑难点拨(10分钟),课堂运用(5分钟),小结发言(5分钟)。
教法设计意图
1.回顾练习
内容:
用适当的方法解方程组
(2)既是方程的解,又是方程的解是()
A.B.C.D.设计意图:巩固二元一次方程组的解法
2.自主探究
出示问题:养牛场原有30只母牛和15只小牛,一天约需用饲料675一周后又购进12只母牛和5只小牛,这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18~20kg,每只小牛1天约需用饲料7~8kg.你能否通过计算检验他的估计?
为了解决这个问题,请认真看P.105页的内容.
思考:判断李大叔的估计是否正确的方法有2种:
(1)先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验.
(2)根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量,再来判断李大叔的估计是否正确.
5分钟后谁能帮助李大叔解决问题,并能解决简单的实际问题?
学生按照自学指导看书,教师巡视,确保人人学得紧张高效.
设计意图:引导学生独立思考,培养自主学习的能力
3.小组交流
组内成员讨论各自的探究成果,对不足和错误进行补充与更正
最终提炼出最佳方法.
设计意图:培养合作学习的习惯
4.成果展示
各组在黑板上展示解题的方法(也就是设,列的步骤),然后由发言人讲解详细的做法.
设计意图:培养分析与解决问题能力
5.疑难点拨
(1)根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量——列出方程组
(2)方法的多样——2种解法
设计意图:突破难点,打开思考路线,指导规范解题
6.课堂运用
实验中学组织爱心捐款支援灾区活动,九年级一班55名同学共捐款1180元,捐款情况见下表.表中捐款10元和20元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚,请你帮助确定表中的数据.
捐款(元)
5
10
20
50
人数
6
7
设计意图:巩固解决实际问题的方法与步骤
7.小结发言
谈出本节课的收获与困惑
设计意图:通过各小组的小结,从审,设,列,解,答五步规范实际问题的解法.
五、说作业安排
作业安排一定要按照学生的层次性分类定量的进行(我一般将学生分成三类:特优生,优秀生,待优生)
设计意图:从不同层次有效的提高学生对知识的掌握程度
导师每次授课都必须准备一份教案和课件,因此我们导师要认真地撰写。教案的编写应符合素质教育的要求和目标。趣祝福的编辑为您整理了一篇高质量的“解一元一次方程课件”文章,希望大家可以参考。希望你能喜欢!
地位:本节位于青岛版七年级上册第八章第4节第三课时,在研究了解简单的一元一次方程的基础上进行的,其后是第5节一元一次方程的应用。
作用:是一元一次方程解应用题的基础,也是解其他方程的基础。
(1)知识与技能:让学生掌握解一元一次方程的基本步骤,会解一元一次方程。
(2)过程与方法:让学生经历解一元一次方程的探索过程,总结出解一元一次方程的一般步骤。
(3)情感、态度与价值观:通过自主学习、合作交流,培养学生的自信心与团结互助精神,让学生体会到解方程中分析与转化的思想方法。
学生已经历了两节简单的解一元一次方程,大部分学生应已经初步了解了去括号、移项、合并同类项、系数化为1等方法,对本节学习大有帮助,但在去分母及其余各步骤中都有易错点,是学生难以全面掌握的。
新课改理念强调学生的主体地位,把课堂还给学生,学生是每一环节的主体。数学是思维的体操。这节课的目的是让学生真正思考,将知识与技能内化成自己的东西,同时养成良好的行为、学习习惯。
四、教学过程教学环节 教师活动 学生活动 设计目的 一、 师生定向
明确目标 出示目标 阅读目标 让学生清楚本节课应学习什么内容,学到什么程度达到什么要求 二、 复习检测
自学课本内容,思考解方程的每一步变化的名称及具体做法,思考易错点
教师指明做法,帮学生走进教材,理解文本,把握重点。
通过学生阅读思考让学生将部分知识内化。
引导学生讨论总结步骤及具体做法,易错点 小组合作解决自学未能解决的问题
在互动中提高学生的分析能力、判断能力,培养团结互助精神 五、 达标自测
小组交流后当堂完成 检验学生学习成果用以确定课后作业 六 简谈收获
1.使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;并会列出一元一次方程解简单的应用题;
2.培养学生观察能力,提高他们分析问题和解决问题的'能力;
3.使学生初步养成正确思考问题的良好习惯.
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤.
在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢?
为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题.
例1某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数.
纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.
我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程.
本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.
例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后,还剩余42500千克,这个仓库原来有多少面粉?
师生共同分析:
1.本题中给出的已知量和未知量各是什么?
2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量)
3.若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系,如何布列方程?
此时,让学生讨论:本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式?若有,是什么?
(还有,原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出:
(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程;
(2)例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿.
依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤;然后,采取提问的方式,进行反馈;最后,根据学生总结的情况,教师总结如下:
(1)仔细审题,透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数;
(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(这是关键一步);
(3)根据相等关系,正确列出方程.即所列的方程应满足两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等;
(4)求出所列方程的解;
(5)检验后明确地、完整地写出答案.这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义.
例3(投影)初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动,休息时工人师傅摘苹果分给同学,若每人3个还剩余9个;若每人5个还有一个人分4个,试问第一小组有多少学生,共摘了多少个苹果?
1.了解一元一次方程的概念。
1.解下列方程:
2.去括号法则是什么?“移项”要注意什么?
如44x+64=328 3+x=(45+x) y-5=2y+l 问:它们有什么共同特征?
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是l,这样的方程叫做一元一次方程。
强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项,若括号前面是“-”号,注意去掉括号,要改变括号内的每一项的符号。
说明:方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
学习了一元一次方程的概念,含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要搞错符号。
掌握去分母解方程的方法,体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程,注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。
2、难点:求各分母的最小公倍数,去分母时,有时要添括号。
1.去括号和添括号法则。
解一元一次方程有哪些步骤?
一般要通过去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1等步骤,把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。解题时,要灵活运用这些步骤。
1.解一元一次方程有哪些步骤?
2.掌握移项要变号,去分母时,方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数,切勿漏乘不含有分母的项,另外分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上。
使学生灵活应用解方程的一般步骤,提高综合解题能力。
1、一元一次方程的解题步骤。
分析:此方程的分母是小数,如果能把各分母化为整数,那么就可以用前面学过的方法求解了。那么怎样化简呢?引导学生分析,并求出方程的解。交流体会。
例3:已知公式V=中,V=120、D=100、∏=3.14,求n的值。(保留整数)
分析:在公式中,V、D、∏都已知,只要把它们的值代入公式,就可以得到关于n的一元一次方程。
三、巩固练习。
根据公式V=V0+at,填写下列表中的空格。
四、小结。
若方程的分母是小数,应先利用分数的性质,把分子、分母同时扩大若干倍,此时分子要作为一个整体,需要补上括号,注意不是去分母,不能把方程其余的项也扩大若干倍。
教学目的:
理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;并会列一元一次方程解简单应用题。
1、什么叫一元一次方程?
2、解一元一次方程的理论根据是什么?
二、新授。
例1、如图(课本第10页)天平的两个盘内分别盛有51克,45克食盐,问应该从盘A内拿出多少盐放到月盘内,才能两盘所盛的盐的质量相等?
检验所求出的解是否合理。 培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。
例2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖,初一同学每人搬6块,其他年级同学每人搬8块,总共搬了1400块,问初一同学有多少人参加了搬砖?
1.题目中有哪些已知量?
(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。
(2)初一同学每人搬6块,其他年级同学每人搬8块。
(3)初一和其他年级同学一共搬了1400块。
2.求什么?
初一同学有多少人参加搬砖?
3.等量关系是什么?
列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系,对于这个等量关系中涉及的量,哪些是已知的,哪些是未知的,用字母表示适当的未知数(设元),再将其余未知量用这个字母的代数式表示,最后根据等量关系,得到方程,解这个方程求得未知数的值,并检验是否合理。最后写出答案。
1.知道解一元一次方程的去分母步骤,并能熟练地解一元一次方程。
2.通过讨论、探索解一元一次方程的一般步骤和容易产生的问题,培养学生观察、归纳和概括能力。
二、重点:
解一元一次方程中去分母的方法;培养学生自己发现问题、解决问题的能力。
1、解方程:(1);(2)2(x-2)-(4x-1)=3(1-x)
3、(只列不解)为改善生态环境,避免水土流失,某村积极植树造林,原计划每天植树60棵,实际每天植树80棵,结果比预计时间提前4天完成植树任务,则计划植树_____棵。
(三)例题:
讨论:小明是个“小马虎”下面是他做的题目,我们看看对不对?如果不对,请帮他改正。
通过这几节课的学习,你能归纳小结一下解一元一次方程的一般步骤吗?
2.依据;
3.依据;
4.化成的形式;依据;
5.两边同除以未知数的系数,得到方程的解;依据;
四、小结:
谈谈这节课有什么收获以及解带有分母的一元一次方程要注意的一些问题。
五、课堂检测:
1、去分母时,在方程的左右两边同时乘以各个分母的_____________,从而去掉分母,去分母时,每一项都要乘,不要漏乘,特别是不含分母的项,注意含分母的项约去分母分子必须加括号,由于分数线具有
2、解方程(1)2x+5=5x-7(2)4-3(2-x)=5x(3)=3x-1
一、教学目标
(一).知识与技能
会利用合并同类项解一元一次方程.
(二).过程与方法
通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用.
(三).情感态度与价值观
开展探究性学习,发展学习能力.
二、重、难点与关键
(一).重点:会列一元一次方程解决实际问题,并会合并同类项解一元一次方程.
(二).难点:会列一元一次方程解决实际问题.
(三).关键:抓住实际问题中的数量关系建立方程模型.
三、教学过程
(一)、复习提问
1.叙述等式的两条性质.
2.解方程:4(x- )=2.
解法1:根据等式性质2,两边同除以4,得:
x- =
两边都加 ,得x= .
解法2:利用乘法分配律,去掉括号,得:
4x- =2
两边同加 ,得4x=
两边同除以4,得x= .
(二)、新授
公元825年左右,中亚细亚数学家阿尔、花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.对消与还原是什么意思呢?让我们先讨论下面内容,然后再回答这个问题.
问题1:某校三年级共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?
分析:设前年这个学校购买了x台计算机,已知去年购买数量是前年的2倍,那么去年购买2x台,又知今年购买数量是去年的2倍,则今年购买了22x(即4x)台.
题目中的相等关系为:三年共购买计算机140台,即
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140
列方程:x+2x+4x=140
如何解这个方程呢?
2x表示2x,4x表示4x,x表示1x.
根据分配律,x+2x+4x=(1+2+4)x=7x.
这样就可以把含x的项合并为一项,合并时要注意x的系数是1,不是0.
下面的框图表示了解这个方程的具体过程:
x+2x+4x=140
合并
7x=140
系数化为1
x=20
由上可知,前年这个学校购买了20台计算机.
上面解方程中合并起了化简作用,把含有未知数的项合并为一项,从而达到把方程转化为ax=b的形式,其中a、b是常数.
例:某班学生共60分,外出参加种树活动,根据任何的不同,要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2:3:5,求各小组人数.
分析:这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2:3:5,就是说把总数60人分成10份,甲组人数占2份,乙组人数占3份,丙组人数占5份,如果知道每一份是多少,那么甲、乙、丙各组人数都可以求得,所以本题应设每一份为x人.
问:本题中相等关系是什么?
答:甲组人数+乙组人数+丙组人数=60.
解:设每一份为x人,则甲组人数为2x人,乙组人数为3x人,丙组为5x人,列方程:
2x+3x+5x=60
合并,得10x=60
系数化为1,得x=6
所以2x=12,3x=18,5x=30
答:甲组12人,乙组18人,丙组30人.
请同学们检验一下,答案是否合理,即这三组人数的比是否是2:3:5,且这三组人数之和是否等于60.
(三)、巩固练习
1.课本第89页练习.
(1)x=3.
(2)可以先合并,也可以先把方程两边同乘以2.
具体解法如下:
解法1:合并,得( + )x=7
即 2x=7
系数化为1,得x=
解法2:两边同乘以2,得x+3x=14
合并,得 4x=14
系数化为1,得 x=
(3)合并,得-2.5x=10
系数化为1,得x=-4
2.补充练习.
(1)足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑白皮块的数目比为3:5,一个足球的表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少?
(2)某学生读一本书,第一天读了全书的多2页,第二天读了全书的少1页,还剩23页没读,问全书共有多少页?(设未知数,列方程,不求解)
解:(1)设每份为x个,则黑色皮块有3x个,白色皮块有5x个.
列方程 3x+2x=32
合并,得 8x=32
系数化为1,得 x=4
黑色皮块为43=12(个),白色皮块有54=20(个).
(2)设全书共有x页,那么第一天读了( x+2)页,第二天读了( x-1)页.
本问题的相等关系是:第一天读的量+第二天读的量+还剩23页=全书页数.
列方程: x+2+ x-1+23=x.
四、课堂小结
初学用代数方法解应用题,感到不习惯,但一定要克服困难,掌握这种方法,掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤,其中找等量关系是关键也是难点,本节课的两个问题的相等关系都是:总量=各部分量的和.这是一个基本的相等关系.
合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项,也就是逆用乘法分配律,合并时,注意x或-x的系数分别是1,-1,而不是0.
五、作业布置
1.课本第93页习题3.2第1、3(1)、(2)、4、5题.
2.选用课时作业设计.
合并同类项习题课(第2课时)
一、解方程.
1.(1)3x+3-2x=7; (2) x+ x=3;
(3)5x-2-7x=8; (4) y-3-5y= ;
(5) - =5; (6)0.6x- x-3=0.
二、解答题.
2.育红小学现有学生320人,比1995年学生人数的 少150人,问育红小学1995年学生人数是多少?
3.甲、乙两地相距460千米,A、B两车分别从甲、乙两地开出,A车每小时行驶60千米,B车每小时行驶48千米.
(1)两车同时出发,相向而行,出发多少小时两车相遇?
(2)两车相向而行,A车提前半小时出发,则在B车出发后多少小时两车相遇?相遇地点距离甲地多远?
4.甲、乙二人从A地去B地,甲步行每小时走4千米,乙骑车每小时比甲多走8千米,甲出发半小时后乙出发,恰好二人同时到达B地,求A、B两地之间的距离.
5.一条环形跑道长400米,甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米;乙练习长跑,平均每分钟跑250米,两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
答案:
一、1.(1)x=4 (2)x=4 (3)x=-5 (4)x=- (5)x=30 (6)x=11
二、2.705人,设育红小学1995年学生人数为x人,列方程320= x-150.
3.(1)4 小时,设出发后x小时相遇,列方程60x+48x=460.
(2)3 小时,设B车开出后x小时两车相遇,列方程60 +60x+48x=460.
4.3千米,设A、B两地间的距离为x千米, - = .
5.1 分钟,设经过x分钟两人首次相遇,列方程550x-250x=400.
解一元一次方程
──移项(第3课时)
一、教学内容
课本第89页至第91页.
二、教学目标
(一).知识与技能
理解移项法,并知道移项法的依据,会用移项法则解方程.
(二).情感态度与价值观
鼓励学生自主探索与合作交流,发展思维策略,体会方程的应用价值.
三、重、难点与关键
(一).重点:运用方程解决实际问题,会用移项法则解方程.方程的各项应包括前面的符号
(二).难点:对立相等关系.
(三).关键:理解移项法则的依据,以及寻找问题中的等量关系.
四、教学过程 (一)、复习提问
1.运用方程解决实际问题的步骤是什么?
2.解方程: + =10.
(二)、新授
问题2:把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生?
分析:设这个班有x名学生,根据第一种分法,分析已知量和未知量间的关系.
1.每人分3本,那么共分出多少本?(3x本)
2.共分出3x本和剩余的20本,可知道什么?
答:这批书共有(3x+20)本.
根据第二种分法,分析已知量与未知量之间的关系.
3.每人分4本,那么需要分出多少本?(4x本)
4.需要分出4x本和还缺少25本那么这批书共有多少本?
答:这批书共有(4x-25)本.
这批书的总数有几种表示法?它们之间有什么关系?本题哪个相等关系可以作为列方程的依据?
这批书的总数是一个定值(不变量)表示它的两个式子应相等.
根据这一相等关系,列方程:
3x+20=4x-25
本题还可以画示意图,帮助我们分析:
从示意图中容易得到这批书的总数与分出书、剩下书的关系是:
这批书的总数=3x+30
这批书的总数与需要分出的书的数量、还缺少书的数量关系是:
这批书的总数=4x-25
根据两种分法,这批书的总数是相等的.
所以,列方程3x+20=4x-25.
注意变化中的不变量,寻找隐含的相等关系,从本题列方程的过程,可以发现:表示同一个量的两个不同式子相等.
思考:方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项(3x与4x),也都含有不含字母的.常数项(20与-25)怎样才能使它转化为x=a(常数)的形式呢?
要使方程右边不含x的项,根据等式性质1,两边都减去4x,同样,把方程两边都减去20,方程左边就不含常数项20,即
3x+20 -4x-20 =4x-25 -4x-20
即 3x-4x=-25-20
将它与原来方程比较,相当于把原方程左边的+20变为-20后移到方程右边,把原方程右边的4x变为-4x后移到左边.
像上面那样,把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
方程中的任何一项都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边,也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边,注意要先变号后移项,别忘了变号.
下面的框图表示了解这个方程的具体过程.
3x+20=4x-25
移项
3x-4x=-25-20
合并
-x=-45
系数化为1
x=46
由此可知这个班共有45个学生.
思考:上面解方程中移项起了什么作用?
答:移项使方程中含x的项归到方程的同一边(左边),不含x的项即常数项归到方程的另一边(右边),这样就可以通过合并把方程转化为x=a形式.
在解方程时,要弄清什么时候要移项,移哪些项,目的是什么?
解方程时经常要合并和移项,前面提到的古老的代数书中的对消和还原,指的就是合并和移项.
如果把上面的问题2的条件不变,这个班有多少学生改为这批书有多少本?你会解吗?试试看.
解法1:从原问题的解答中,已求的这个班有45个学生,只要把x=45代入3x+20(或4x-25)就可以求得这批书的总数为:
345+20=135+20=155(本)
解法2:如果不先求学生数,直接设这批书共有x本,又如何布列方程?这时该用哪个相等关系列方程呢?
这批书共有x本,余下20本,共分出(x-20)本,每人分3本,可以分给 人,即这个班共有 人.
这批书有x本,每人分4本,还缺少25本,共需要(x+25)本,可以分给 人,即这个班共有 人.
这个班的人数是一个定值,表示它的两个式子应相等,根据这个相等关系列方程.
= (你会解这个方程吗?)
即 - = +
移项,得 - = +
合并,得 =
系数化为1,得x=155.
答:这批书共有155本.
(三)、巩固练习
1.课本第91页练习.
(1)解:移项,得6x-4x=-5+7
合并,得 2x=2
系数化为1,得x=1
(2)解:移项,得 x- x=6
合并,得- x=6
系数化为1,得x=-24
2.补充练习.
下列移项对不对?如果不对,错在哪里?应当怎样改正?
(1)从3x+6=0得3x=6;
(2)从2x=x-1得到2x-x=1;
(3)从2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x.
解:(1)错,移项忘了要变号,应改为3x=-6.
(2)错.原方程中的-1仍然在方程右边,并没有移项,所以不要变号,应改为2x-x-=-1.
(3)正确.
四、课堂小结
1.列一元一次方程解决实际问题的关键是审题、读懂题意和找相等关系,今天解决的这个问题的相等关系不明显,隐含在问题中,表示同一个量的两个式子是相等.这个相等关系可以作列方程的依据.
2.正确理解移项法则,移项中常犯的错误是忘记变号,还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质区别,移项的依据是等式性质,在方程的一边交换两项的位置是根据交换律.
五、作业布置
1.课本第93页至第94页习题3.2第2、3(3)(4)、6、7、8题.
2.选用课时作业设计.
移项习题课(第4课时)
一、填空题.
1.在方程的两边加上或减去同一项,相当于把原方程中的项______后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做________,其依据是________,移项要注意_____.
2.在方程的一边交换两项的位置______改变项的符号,而移项______改变符号.
3.解方程x+21=36得x=________;由10x-3=9得x=______.
二、判断题.(对的打,错的打)
4.移项就是把方程中的某一项移到等号的另一边.( )
5.从6x=1,移项,得x=1-6,x=-5. ( )
6.由方程-4+x=7移项得x=7-4. ( )
三、解方程.
7.(1)8=7-2y; (2) = - ;
(3)5x-2=7x+8; (4)1- x=3x+ ;
(5)2x- =- +2; (6)- x+6=4x+1;
(7) -x=0.5x-3.
四、解答题.
8.设m=3x-2,n=-2x+3,当x为何值时m=n?
9.甲粮仓存粮1000吨,乙粮仓存粮798吨,现要从两个粮仓中运走212吨粮食,使两仓库剩余的粮食数量相等,那么应从这两个粮仓各运出多少吨?
答案:
一、1.合并 移项 合并同类项 变号 2.不 要 3.15 1.2
二、4. 5. 6.
三、7.(1)y=- (2)x= (3)x=-5 (4)x=-
(5)x=1 (6)x= (7)x=3
四、8.x=1 9.207,5,设从甲粮仓运出x吨,1000-x=798-(212-x)
教学目标
1.在具体情境中,进一步体会方程是刻画现实世界的重要数学模型。
2.知道什么是一元一次方程的标准形式,会通过移项、合并同类项把方程化为标准形式,然后利用等式的性质解方程。
教学重、难点
重点:把方程转化为标准形式。
难点:解方程的应用。
教学过程
一激情引趣,导入新课
1解方程:9x+3=8+8x
2(1)上面解方程的过程中,每一步的依据是什么?
(2)什么叫移项?移项要注意什么?
(3)2-4x+6+5x=8,变形为:-4x+5x+2+6=8,是不是移项?
二合作交流,探究新知
1动脑筋:
某实验中学举行田径运动会,初一年级甲班和丙班参加的人数的和是乙班参加的人数的3倍,甲班有40人参加,乙班参加的人数比丙班参加的人数少10人,你能算出乙班参加校运会的人数吗?
观察你解方程的过程,原方程做了哪些变形?
形如ax=b(a≠0)的方程叫一元一次方程的_____形式。
2训练
(1)解方程:①11x-2=8x-8,②
(2)下列方程求解正确的是()
A-2x=3,解得:x=,B解得:x=
C3x+4=4x-5解得:x=-9,D2x=3x+1,解得x=-1
三应用迁移,巩固提高
1方程的转化
例1已知x=-2是方程的解,求m的值。
例2若方程2x+a=,与方程的解相同,求a的值。
2实践应用
例3甲仓库有某种粮食120吨,乙仓库有同样的.粮食96吨,甲仓库每天卖出粮食15吨,乙仓库每天卖出粮食9吨,多少天后,两仓库剩下的粮食相等?
例4百年问题:我们明代数学家程大为曾提出过一个有趣的问题,有一个人赶着一群羊在前面走,另一个人牵着一头羊跟在后面,后面的人问赶羊的人说:“你这群羊有一百只吗?”赶羊人回答“我再得这么一群羊,再得这群羊的一半,再得这群羊的四分之一,把你牵的羊
也给我,我恰好有一百只羊”,请问这群羊有多少只?
四冲刺奥赛
例5当b=1时,关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7,有无穷多个解,则a=()
A2B–2CD不存在
例6解方程:3x+=4
例7用一队卡车运一批货物,若每辆卡车装7吨货物,则尚余10吨货物装不完,若每辆卡车装8吨货物,则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物,那么这批货物共有多少吨?
五课堂练习,巩固提高
P1121
六反思小结,拓展提高
1什么叫一元一次方程的标准形式?解一元一次方程一般要转化成什么形式?
(1)本节课是七年级第七章《用一元一次方程解决实际问题》的第3课时,主要学习用一元一次方程解决路程问题。通过上两节课的学习,学生已经初步掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法,本节课在此基础上,结合路程问题,进一步学习如何从实际问题中分析数量关系,用一元一次方程解决实际问题。对学习函数、不等式与其他方程解实际问题都具有重要的意义和作用。
能借助“列表”的方法审题、找等量关系,进而用一元一次方程解决路程问题。
进一步培养学生分析问题,解决实际问题的能力。
通过实际问题的解决,让学生认识数学的价值和学习数学的必要性;通过问题情境的设置,让学生热爱生活、热爱体育。
3、教学重点:
引导学生经历借助“列表法”找等量关系,用一元一次方程模型解决路程问题的过程。
知识、方法重要,其获取过程更重要,在教学中不能只重结果而忽视过程中学生经历的观察、分析、交流等活动,不然学生就不具备主动建构知识的能力和持续发展的动力,只会成为解题工具,所以我把方法获取过程作为本课的重点。
掌握用列表的方法审清题意,抽象具体问题中的数学背景,建立数量间的等量关系。
用一元一次方程解决实际问题的关键是找到等量关系。体会“列表法”在把握路程问题等量关系的优越性,进而掌握这种方法是学生感到困难的,所以把它是本节课的难点。
本节课主要采用“学生主体性学习”的教学模式。通过多媒体创设情境,激发学生兴趣,问题让学生想,设计问题让学生做,方法技巧让学生归纳。教师的作用在于组织、引导、点拨,促进学生主动探索,积极思考,归纳,充分发挥学生的主体作用,让学生真正成为课堂的主人、
学生不是被动的接受信息,而是在“结合具体情景、设计解决策略、与他人合作交流、自我反思”的过程中学习。
我把本节课设计为5个环节:
张叔叔和他的朋友们开着越野车一同去森林探险,他们来到了森林不久不幸被一条毒蛇咬了,这种毒性在8小时就会发作,他们知道离森林大约600千米的地方有一个大医院,本医院的救护车60千米/小时,可他们开的越野车40千米/小时,你们想想,用什么办法就可以救张叔叔呢?
通过救人情境的创设,既对学生已有知识的检测,又激发学生解决问题的兴趣,在不知不觉中引入路程问题――相遇问题。
引入问题后,学生独立思考如何确定问题中的等量关系,然后课堂交流理清题意、找到等量关系的方法(画图或列表)。在此基础上,引导学生探究如何用列表的方法理清题目中的数量,让学生初步感受“列表”表示数量关系的优越性。
本环节让学生在独立思考、交流探讨中感受“列表法”,让学生参与的`知识获取过程,真正体现了学生是数学学习的主人。
第二场龟兔赛跑:兔子为了体现自己的速度确实比乌龟快的多,他们约定兔子让乌龟先行40分钟,并且在比赛中兔子和乌龟都每跑1分钟,停1分钟,如果乌龟以每分钟1.2米的速度爬行,兔子以每分钟12米的速度行进,试问兔子追上乌龟需要多长时间?追上的地点距出发点有多远?
以同学们熟悉的故事为背景,配以形象生动的动画,引入路程问题――追击问题。然后让学生应用列表法表示追击问题的数量关系,思考解决问题的多种方法(根据不同等量关系,设不同未知数,列出不同的方程),进一步体会“列表”表示数量关系的威力。
教学过程不能简单地重复,学习过程也不能使机械地模仿,而应在螺旋上升的过程中不断提高。由相遇问题到追击问题,由一种方法到两种方法,就是这一理念的直接体现。学生在应用“列表”法的过程中,提高对“列表”法表示数量关系优越性的认识。
浙江奥运健儿孟关良,在雅典奥运会上的夺冠为水上项目获得了第一枚金牌,掀开了水上项目的新章。金牌后面是无数的汗水,在千岛湖,孟关良是这样艰苦训练的:一艘快艇与孟关良的皮艇在同一起点,快艇以每秒5米的速度先行了20秒,孟关良为了追上快艇,必须奋力前划,同学们,请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇?
本环节让学生应用所学知识解决现实生活中的问题。
本题以“奥运”为背景,不仅反映了数学来源于实际生活,同时也体现了知识的实用价值,而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。这一环节既对路程问题进行了巩固练习又渗透了爱国主义教育。
编写一道应用题,使它的题意适合一元一次方程60x=40x+100,要求题意清楚、联系生活、符合实际、有一定的创意。
本环节让学生以小组为单位编写题目。
前面的环节是由实际问题到数学模型,现在是由数学模型到实际问题,不仅有利于学生获取知识,而且也有利于学生展示聪明才智、形成独特个性和发展创新。以小组为单位编写题目不仅可以发挥学生的集体智慧,而且还可以培养他们的合作和团队意识。
这节课体验到了什么?
让学生本节学习收获和感受,全体同学交流。
对学生数学学习的既要关注学生数学学习的水平,更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度,课后设计的畅谈收获,把课堂还给了学生,他们收获,交流疑问,当堂消化本节内容,让每一个学生都体验到成功的喜悦,学生的主体地位得以充分体现。
(1)本节课在情境的创设上,突出了现实性、趣味性和挑战性,学生喜闻乐见,使他们能快速进入问题的解决。
(2)让学生经历实践―C认识――再实践――再认识的过程,在这个过程中,学生分析问题和解决问题的能力螺旋上升,符合学生学习数学的心理规律。
一、教学目标
(一)知识与技能
会利用合并同类项解一元一次方程。
(二)过程与方法
通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
(三)情感态度与价值观
开展探究性学习,发展学习能力。
二、重、难点与关键
(一)重点:会列一元一次方程解决实际问题,并会合并同类项解一元一次方程。
(二)难点:会列一元一次方程解决实际问题。
(三)关键:抓住实际问题中的数量关系建立方程模型。
三、教学过程
(一)、复习提问
1、叙述等式的两条性质。
2、解方程:4(x—)=2
解法1:根据等式性质2,两边同除以4,得:
x— =
两边都加,得x=
解法2:利用乘法分配律,去掉括号,得:
4x— =2
两边同加,得4x=
两边同除以4,得x=
(二)、新授
公元825年左右,中亚细亚数学家阿尔、花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程。这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》。对消与还原是什么意思呢?让我们先讨论下面内容,然后再回答这个问题。
问题1:某校三年级共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?
分析:设前年这个学校购买了x台计算机,已知去年购买数量是前年的2倍,那么去年购买2x台,又知今年购买数量是去年的2倍,则今年购买了22x(即4x)台。
题目中的相等关系为:三年共购买计算机140台,即
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140
列方程:x+2x+4x=140
如何解这个方程呢?
2x表示2x,4x表示4x,x表示1x。
根据分配律,x+2x+4x=(1+2+4)x=7x。
这样就可以把含x的项合并为一项,合并时要注意x的系数是1,不是0
下面的框图表示了解这个方程的具体过程:
x+2x+4x=140
合并
7x=140
系数化为1
x=20
由上可知,前年这个学校购买了20台计算机。
上面解方程中合并起了化简作用,把含有未知数的项合并为一项,从而达到把方程转化为ax=b的形式,其中a、b是常数。
例:某班学生共60分,外出参加种树活动,根据任何的不同,要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2:3:5,求各小组人数。
分析:这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2:3:5,就是说把总数60人分成10份,甲组人数占2份,乙组人数占3份,丙组人数占5份,如果知道每一份是多少,那么甲、乙、丙各组人数都可以求得,所以本题应设每一份为x人。
问:本题中相等关系是什么?
答:甲组人数+乙组人数+丙组人数=60。
解:设每一份为x人,则甲组人数为2x人,乙组人数为3x人,丙组为5x人,列方程:
2x+3x+5x=60
合并,得10x=60
系数化为1,得x=6
所以2x=12,3x=18,5x=30
答:甲组12人,乙组18人,丙组30人。
请同学们检验一下,答案是否合理,即这三组人数的比是否是2:3:5,且这三组人数之和是否等于60。
(三)、巩固练习
1、课本第89页练习。
(1)x=3、
(2)可以先合并,也可以先把方程两边同乘以2、
具体解法如下:
解法1:合并,得(+)x=7
即2x=7
系数化为1,得x=
解法2:两边同乘以2,得x+3x=14
合并,得4x=14
系数化为1,得x=
(3)合并,得—2、5x=10
系数化为1,得x=—4
2、补充练习。
(1)足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的`,黑白皮块的数目比为3:5,一个足球的表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少?
(2)某学生读一本书,第一天读了全书的多2页,第二天读了全书的少1页,还剩23页没读,问全书共有多少页?(设未知数,列方程,不求解)
解:(1)设每份为x个,则黑色皮块有3x个,白色皮块有5x个。
列方程3x+2x=32
合并,得8x=32
系数化为1,得x=4
黑色皮块为43=12(个),白色皮块有54=20(个)
(2)设全书共有x页,那么第一天读了(x+2)页,第二天读了(x—1)页。
本问题的相等关系是:第一天读的量+第二天读的量+还剩23页=全书页数。
列方程:x+2+ x—1+23=x。
四、课堂小结
初学用代数方法解应用题,感到不习惯,但一定要克服困难,掌握这种方法,掌握列一元一次方程解决实际问题的一般步骤,其中找等量关系是关键也是难点,本节课的两个问题的相等关系都是:总量=各部分量的和。这是一个基本的相等关系。
合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项,也就是逆用乘法分配律,合并时,注意x或—x的系数分别是1,—1,而不是0。
五、作业布置
1、课本第93页习题3、2第1、3(1)、(2)、4、5题。
2、选用课时作业设计。
合并同类项习题课(第2课时)
一、解方程。
1、(1)3x+3—2x=7;(2)x+ x=3;
(3)5x—2—7x=8;(4)y—3—5y=;
(5)— =5;(6)0。6x— x—3=0。
二、解答题。
2、育红小学现有学生320人,比1995年学生人数的少150人,问育红小学1995年学生人数是多少?
3、甲、乙两地相距460千米,A、B两车分别从甲、乙两地开出,A车每小时行驶60千米,B车每小时行驶48千米。
(1)两车同时出发,相向而行,出发多少小时两车相遇?
(2)两车相向而行,A车提前半小时出发,则在B车出发后多少小时两车相遇?相遇地点距离甲地多远?
4、甲、乙二人从A地去B地,甲步行每小时走4千米,乙骑车每小时比甲多走8千米,甲出发半小时后乙出发,恰好二人同时到达B地,求A、B两地之间的距离。
5、一条环形跑道长400米,甲练习骑自行车,平均每分钟行驶550米;乙练习长跑,平均每分钟跑250米,两人同时、同地、同向出发,经过多少时间,两人首次相遇?
答案:
一、1、(1)x=4(2)x=4(3)x=—5(4)x=—(5)x=30(6)x=11
二、2、705人,设育红小学1995年学生人数为x人,列方程320= x—150。
3、(1)4小时,设出发后x小时相遇,列方程60x+48x=460。
(2)3小时,设B车开出后x小时两车相遇,列方程60 +60x+48x=460。
4、3千米,设A、B两地间的距离为x千米,— = 。
5、1分钟,设经过x分钟两人首次相遇,列方程550x—250x=400。
一、课题名称:3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母
二、教学目的和要求:
1、知识目标
(1)通过对比运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程,使学生体会到列方程解应用题更简洁明了,省时省力;
(2)掌握去括号解一元一次方程的方法,能熟练求解一元一次方程(数字系数),并判别解的合理性。
2、能力目标
(1)通过学生观察、独立思考等过程,培养学生归纳、慨括的能力;
(2)进一步让学生感受到并尝试寻找不同的解决问题的方法。
3、情感目标
(1)激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考、勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯;
(2)培养学生严谨的思维品质;
(3)通过学生间的相互交流、沟通,培养他们的协作意识。
三、教学重难点:
重点:去分母解方程。
难点:去分母时,不含分母的项会漏乘公分母,及没有对分子加括号。
四、教学方法与手段:
运用引导发现法,引进竞争机制,调动课堂气氛
五、教学过程:
1、创设情境,提出问题
问题1:我手中有6,x,30三张卡片,请同学们用他们编个一元一次方程,比一比看谁编的又快有对。
学生思考,根据自己对一元一次方程的理解程度自由编题。
问题2:解方程5(x-2)=8
解:5x=8+2,x=2,看一下这位同学的解法对吗?相信学完本节内容后,就知道其中的奥秘。
问题3:某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电减少20xx度,全年用电15万度,这个工厂去年上半年每月平均用电多少度?
2、探索新知
(1)情境解决
问题1:设上半年每月平均用电x度,则下半年每月平均用电____度;上半年共用电____度,下半年共有电_____度。
问题2:教室引导学生寻找相等关系,列方程。
根据全年用电15万度,列方程,得6x+6(x-20xx)=150000.
问题3:怎样使这个方程向x=a的形式转化呢?
6x+6(x-20xx)=150000
↓去括号
6x+6x-12000=150000
↓移项
6x+6x=150000+12000
↓合并同类项
12x=162000
↓系数化为1
x=13500
问题4:本题还有其他列方程的'方法吗?
用其他方法列出的方程应怎样解?
设下半年每月平均用电x度,则6x+6(x+20xx)=150000.
(学生自己进行解决)
归纳结论:方程中有带括号的式子时,根据乘法分配率和去括号法则化简。(见“+”不变,见“—”全变)
去括号时要注意:
(1)不要漏乘括号内的任何一项;
(2)若括号前面是“—”号,记住去括号后括号内各项都变号。
(2)解一元一次方程——去括号
例题、解方程:3x—7(x—1)=3—2(x+3)。
解:去括号,得3x—7x+7=3—2x—6
移项,得3x—7x+2x=3—6—7
合并同类项,得—2x=—10
系数化为1,得x=5
3、变式训练,熟练技能
(1)解下列方程:
(1)10x-4(3-x)-5(2+7x)=15x-9(x-2);
(2)3(2-3x)-3[3(2x-3)+3]=5;
(3)2 (x+1)+3(x+2)-3=-4(x+3).
(2)学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖,初一同学每人搬6块,其他年级同学每人搬8块,总共搬了400块,问初一同学有多少人参加了搬砖?
(3)学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分的路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺以前跑了多少时间?
4、总结反思,情意发展
(1)本节课你学习了什么?
(2)本节课你有哪些收获?
(3)通过今天的学习,你想进一步探究的问题是什么?
可以归纳为如下几点:
①本节主要学习用去括号的方法解一元一次方程。
②主要用到的思想方法是转化思想。
③注意的问题:括号前是“—”号的,去括号时,括号内的各项要改变符号,乘数与括号内多项式相乘,乘数应乘遍括号内的各项;在实际问题中,要会找等量关系。
5、布置作业
(1)必做题:课本第98页习题3.3第
1、2题。
(2)选做题:
①解方程:3x-2[3(x-1)-2(x+2)]=3(18-x)。
②杭州新西湖建成后,某班40名同学划船游湖,一共租了8条小船,其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船,40名同学刚好坐满8条小船,问这两种小船各租了几条?
六、课后小结:
本节课突出数学的应用意识。教师首先用学生感兴趣的游戏和实际问题引入课题,然后逐步给出解答。在各环节的安排上都设计成一个个的问题,使学生能围绕问题展开
思考、讨论,进行学习。
强调学生主体意识的体现,在设计中,教师始终把学生放在主体的地位,让学生通过尝试得到解决,归纳出去括号解方程的特点,让学生通过合作与交流,得出问题的不同解答方法。
从设计上体现学生思维的层次性。教师首先引导学生尝试列出含未知数的式子,寻找相等关系列出方程。
教学目标:
1、 使学生会列一元一次方程解有关应用题。
2、 培养学生分析解决实际问题的能力。
复习引入:
1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题,这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量。这三个量的关系是:
(1)__________ (2)_________ (3)_________
人们常规定工程问题中的工作总量为______。
2、由以上公式可知:一件工作,甲用a小时完成,则甲的`工作量可看成________,工作时间是________,工作效率是_______。若这件工作甲用6小时完成,则甲的工作效率是_______。
讲授新课:
1、例题讲解:
一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
问:甲乙合做,需几小时完成这件工作?
(1)首先由一名至两名学生阅读题目。
(2)引导
Ⅰ:这道题目的已知条件是什么?
Ⅱ:这道题目要求什么问题?
Ⅲ:这道题目的相等关系是什么?
(3)由一学生口头设出求知数,并列出方程,师生共同解答;同时教师在黑板上写出解题过程,形成板书。
2、练习:
有一个蓄水池,装有甲、乙、丙三个进水管,单独开甲管,6分钟可注满空水池;单独开乙管,12分钟可注满空水池;单独开丙管,18分钟可注满空水池,如果甲、乙、丙三管齐开,需几分钟可注满空水池?
此题的处理方法:
Ⅰ:先由一名学生阅读题目;
Ⅱ:然后由两名学生板演;
一、说教材
方程是应用非常广泛的数学工具,它在义务教育阶段的数学课程中占重要地位。本节课的教学内容是《解一元一次方程》的第3课时。解方程既是本章的重点也为今后学习其他方程、不等式及函数有重要基础作用。为了使学生牢固掌握解方程体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,产生学习解方程的欲望,教材设置了新颖的问题情境,让学生从具体的情境中获取信息,列方程,然后尝试主动探究方程的解法。并通过练习归纳掌握解方程的基本步骤和技能。
1、教学目标
(1)、知识目标:1、掌握解一元一次方程中"去分母"的方法,并能解这种类型的方程?
2、了解一元一次方程解法的一般步骤?
(2)、能力目标:经历"把实际问题抽象为方程"的过程,发展用方程方法分析问题、解决问题的能力,
(3)、情感目标:1、通过具体情境引入新问题(如何去分母),激发学生的探究欲望
2、通过埃及古题的情境感受数学文明.
2、教学重点:通过"去分母"解一元一次方程
3、教学难点:探究通过"去分母"的方法解一元一次方程
二、说教法:
在前面的学段中,学生已学习了合并同类项、去括号等整式运算内容。解一元一次方程就成为承上启下的重要内容。因此,它既是重点也是难点。我根据学生认识规律和教学的启发性、直观性和面向全体因材施教等教学原则,积极创设新颖的问题情境,以“学生发展为本,以活动为主线,以创新为主旨”,采用多媒体教学等有效手段,以引导法为主,辅之以直观演示法、讨论法,向学生提供充分从事数学活动的机会,激发学生的学习积极性,使学生主动参与学习的全过程。
我的教学设计的指导思想是:1、让学生自己去尝试发现问题,而不是被动的回答老师的问题、接受老师的答案。3、精心设计问题,因为好的问题设计能不断激发学习动机,还能给学生提供学习的目标和思维的空间,使学生自主学习真正成为可能。授课中通过一系列层层递进的问题,给学生充分的时间和广阔的思维空间,充分表达自己的想法,在此基础上解决问题并得出结论。
三、说学法
教学活动流程图活动内容和目的
活动1列方程解决实际问题创设埃及古题问题情境,列方程解决该问题;发展利用方程方法解决简单实际问题的能力,再次感受方程是刻画现实世界量与量之间关系的主要模型之一?教育大全
活动2解含有分母的一元一次方程以学生已有的关于等式性质的数学知识基础,探索利用“去分母"的方法解一元一次方程?
活动3"去分母"的方法解一元一次方程用"去分母"的方法解一元一次方程,掌握"去分母"的方法解一元一次方程应注意的事项;归纳一元一次方程解法的一般步骤?
一、教学目标:
1、知识目标:了解一元一次方程的概念,掌握含括号的一元一次方程的解法。
2、能力目标:培养学生的运算能力与解题思路。
3、情感目标:通过主动探索,合作学习,相互交流,体会数学的严谨,感受数学的魅力,增加学习数学的兴趣。
二、教学的重点与难点:
1、重点:了解一元一次方程的概念,解含有括号的一元一次方程的解法。
2、难点:括号前面是负号时,去括号时忘记变号。移项法则的灵活运用。
三、教学方法:
1、教 法:讲课结合法
2、学 法:看中学,讲中学,做中学
3、教学活动:讲授
四、课 型:新授课
五、课 时:第一课时
六、教学用具:彩色粉笔,小黑板,多媒体
七、教学过程
1、创设情景:
今天让我们一起做个小小的游戏,这个游戏的名字叫:猜猜你心中的“她”
心里想一个数
将这个数+2
将所得结果
最后+7
将所得的结果告诉老师
(抽一个同学,让他把他计算的结果告诉老师,由老师通过计算得到他最开始所想的数字。)
老师:同学们知道老师是怎样猜到的吗?
同学:不知道。
老师:那同学们想知道老师是怎样猜到的吗?这就是我们今天所要学习的内容——解一元一次方程。
2、探究新知:
一元一次方程的概念:
前面我们遇到的一些方程,例如 3
老师:大家观察这些方程,它们有什么共同特征?
(提示:观察未知数的个数和未知数的次数。)
(抽同学起来回答,然后再由老师概括。)
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是l,像这样的方程
叫做一元一次方程。
老师:同学们从这个概念中,能找出关键的字吗?能用它来判断一个式子是否是一元一次
方程吗?
再次强调特征:
(1)只含一个未知数;
(2)未知数的`次数为1;
(3)是一个整式。
(注意:这几个特征必须同时满足,缺一不可。)
3、例题讲解:
例1判断如下的式子是一元一次方程吗?
(写在小黑板上,让学生判断,并分别抽同学起来回答,如果不是,要说出理由。)
① ② ③
④ ⑤⑥
准确答案:①③
下面我们再一起来解几个一元一次方程。
例2、解方程
(1)
解法一:解法二:
提醒:去括号的时候,如果括号外面是负号,去括号时,括号里面要变号
(提示第二种解法:先移项,再去括号。即是把 看成整体的一元一次方程的求解。)
(2)
解:
提示
1)、在我们前面学过的知识中,什么知识是关于有括号的。
2)、复习乘法分配律: ,强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号
内的每一项,若括号前面是“-”号,注意去掉括号,要改变括号内的每一项的符号。
3)、问同学们能不能运用这个知识来去掉这个括号,如果能该怎么去呢?抽一个同学起
来回答。
4)、问:去了括号的式子,又该做什么呢?我们前面见过此类的方程的,引出移项,并强调移项时注意符号的变化。此处运用了等式的性质。
5)、一起回顾合并同类项的法则:未知数的系数相加。
6)、系数化为1,运用了等式的性质。
(求解的每一步的时候,抽同学起来回答,该怎么进行,运用了什么知识,同学叙述,老师写,同学说完后,老师在点评,最后归纳解含括号的一元一次方程的步骤,并强 调解题格式。)
方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法,并互相交流。
解一元一次方程的步骤:
去括号,移项,合并同类项,系数化为1。
4、巩固练习
(1)解方程(2)当y为何值时,2(3y+4)的值比5(2y—7)的值大3?解5(x+2)=2(5x—1)
(巩固练习,抽两个同学上黑板去完成,其余的同学在演草纸上完成,待同学们完成后给予点评。)
5小结:和同学们一起回顾我们这节课学习了什么?
解一元一次方程
概念
含括号的一元一次方程的解法
作业:
1、P12 。1
2、预习下一节课的内容,
3、复习此节课的内容,并完成一下两道思考题。
思考:
(1) 解方程:
说明:方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括
号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
(2) 该怎么求解?
第一课时
教学目的
1.了解一元一次方程的概念。
2.掌握含有括号的一元一次方程的解法。
重点、难点
1.重点:解含有括号的一元一次方程的解法。
2.难点:括号前面是负号时,去括号时忘记变号。
教学过程
一、复习提问
1.解下列方程:
(1)5x-2=8 (2)5+2x=4x
2.去括号法则是什么?“移项”要注意什么?
二、新授
一元一次方程的概念
如44x+64=328 3+x=(45+x) y-5=2y+l 问:它们有什么共同特征?
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是l,这样的方程叫做一元一次方程。
例1.判断下列哪些是一元一次方程
x= 3x-2 x-=-l
5x2-3x+1=0 2x+y=l-3y =5
例2.解方程(1)-2(x-1)=4
(2)3(x-2)+1=x-(2x-1)
强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项,若括号前面是“-”号,注意去掉括号,要改变括号内的每一项的符号。
补充:解方程3x-[3(x+1)-(1+4)]=l
说明:方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的`方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
三、巩固练习
教科书第9页,练习,l、2、3。
四、小结
学习了一元一次方程的概念,含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要搞错符号。
五、作业
1.教科书第12页习题6.2,2第l题。
第二课时
教学目的
掌握去分母解方程的方法,体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程,注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。
重点、难点
1、重点:掌握去分母解方程的方法。
2、难点:求各分母的最小公倍数,去分母时,有时要添括号。
教学过程
一、复习提问
1.去括号和添括号法则。
2.求几个数的最小公倍数的方法。
二、新授
例1:解方程(见课本)
解一元一次方程有哪些步骤?
一般要通过去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1等步骤,把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。解题时,要灵活运用这些步骤。
补充例:解方程 (x+15)=- (x-7)
三、巩固练习
教科书第10页,练习1、2。
四、小结
1.解一元一次方程有哪些步骤?
2.掌握移项要变号,去分母时,方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数,切勿漏乘不含有分母的项,另外分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上。
五、作业
教科书第13页习题6.2,2第2题。
第三课时
教学目的
使学生灵活应用解方程的一般步骤,提高综合解题能力。
重点、难点
1、重点:灵活应用解题步骤。
2、难点:在“灵活”二字上下功夫。
教学过程 :
一、 一、 复习
1、一元一次方程的解题步骤。
2、分数的基本性质。
二、新授
例1.解方程(见课本)
分析:此方程的分母是小数,如果能把各分母化为整数,那么就可以用前面学过的方法求解了。那么怎样化简呢?引导学生分析,并求出方程的解。交流体会。
例2.解方程(见课本)
例3:已知公式V=中,V=120、D=100、∏=3.14,求n的值。(保留整数)
分析:在公式中,V、D、∏都已知,只要把它们的值代入公式,就可以得到关于n的一元一次方程。
三、巩固练习。
根据公式V=V0+at,填写下列表中的空格。
VV0at02848314155476137
四、小结。
若方程的分母是小数,应先利用分数的性质,把分子、分母同时扩大若干倍,此时分子要作为一个整体,需要补上括号,注意不是去分母,不能把方程其余的项也扩大若干倍。
五、作业 。
3.3解一元一次方程(二)(第4课时)
一、教学目标
知识与技能
1、会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题。
2、熟练掌握一元一次方程的解法。
过程与方法
培养学生的数学建模能力,以及分析问题解、决问题的能力。
情感态度与价值观
1、通过问题的解决,培养学生解决问题的能力。
2、通过开放性问题的设计,培养学生的创新能力和挑战自我的意识,增强学生的学习兴趣。
二、重点难点
重点
根据题意,分析各类问题中的等量关系,熟练的.列方程解应用题。
难点弄清题意,用列方程解决实际问题。
三、学情分析
学生在上一节课已经学习了一元一次方程的解法,对于学生来说解方程已不是问题了,本节课是以上一节课为基础,用方程来解决实际问题,只要学生读懂题意,建立数学模型,用一元一次方程会解决就行了。
四、教学过程设计
教学
环节问题设计师生活动备注情境创设
讨论交流:按怎样的解题步骤解方程才最简便?由此你能得到怎样的启发。
创设问题情境,引起学生学习的兴趣。
学生动手解方程
自主探究
问题一:
一项工作甲独做5天完成,乙独做10天完成,那么甲每天的工作效率是,乙每天的工作效率是,两人合作3天完成的工作量是,此时剩余的工作量是。
问题二:
某项工作,甲单独做需要4小时,乙单独做需要6小时,如果甲先做30分钟,然后甲、乙合作,问甲、乙合作还需要多久才能完成全部工作?
问题三:
整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分人先做4小时,再增加两人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同。
一。教学目标:
1。知识目标:了解一元一次方程的概念,掌握含括号的一元一次方程的解法。
2。能力目标:培养学生的运算能力与解题思路。
3。情感目标:通过主动探索,合作学习,相互交流,体会数学的严谨,感受数学的魅力,增加学习数学的兴趣。
二。教学的重点与难点:
1。重点:了解一元一次方程的概念,解含有括号的一元一次方程的解法。
2。难点:括号前面是负号时,去括号时忘记变号。移项法则的灵活运用。
三。教学方法:
1。教 法:讲课结合法
2。学 法:看中学,讲中学,做中学
3。教学活动:讲授
四。课 型:新授课
五。课 时:第一课时
六。教学用具:彩色粉笔,小黑板,多媒体
七。教学过程
1。创设情景:
今天让我们一起做个小小的游戏,这个游戏的名字叫:猜猜你心中的她
心里想一个数
将这个数+2
将所得结果
最后+7
将所得的结果告诉老师
(抽一个同学,让他把他计算的结果告诉老师,由老师通过计算得到他最开始所想的数字。)
老师:同学们知道老师是怎样猜到的吗?
同学:不知道。
老师:那同学们想知道老师是怎样猜到的吗?这就是我们今天所要学习的内容解一元一次方程。
2。探究新知:
一元一次方程的概念:
前面我们遇到的一些方程,例如 3
老师:大家观察这些方程,它们有什么共同特征?
(提示:观察未知数的个数和未知数的次数。)
(抽同学起来回答,然后再由老师概括。)
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是l,像这样的方程叫做一元一次方程。
老师:同学们从这个概念中,能找出关键的字吗?能用它来判断一个式子是否是一元一次方程吗?
再次强调特征:
(1)只含一个未知数;
(2)未知数的次数为1;
(3)是一个整式。
(注意:这几个特征必须同时满足,缺一不可。)
3。例题讲解:
例1判断如下的式子是一元一次方程吗?
(写在小黑板上,让学生判断,并分别抽同学起来回答,如果不是,要说出理由。)
① ② ③
④ ⑤⑥
准确答案:①③
下面我们再一起来解几个一元一次方程。
例2。解方程
(1)
解法一:解法二:
提醒:去括号的时候,如果括号外面是负号,去括号时,括号里面要变号
(提示第二种解法:先移项,再去括号。即是把 看成整体的'一元一次方程的求解。)
(2)
解:
提示
1)。在我们前面学过的知识中,什么知识是关于有括号的。
2)。复习乘法分配律: ,强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项,若括号前面是—号,注意去掉括号,要改变括号内的每一项的符号。
3)。问同学们能不能运用这个知识来去掉这个括号,如果能该怎么去呢?抽一个同学起来回答。
4)。问:去了括号的式子,又该做什么呢?我们前面见过此类的方程的,引出移项,并强调移项时注意符号的变化。此处运用了等式的性质。
5)。一起回顾合并同类项的法则:未知数的系数相加。
6)。系数化为1,运用了等式的性质。
(求解的每一步的时候,抽同学起来回答,该怎么进行,运用了什么知识,同学叙述,老师写,同学说完后,老师在点评,最后归纳解含括号的一元一次方程的步骤,并强 调解题格式。)
方程(1)该怎样解?由学生独立探索解法,并互相交流。
解一元一次方程的步骤:去括号,移项,合并同类项,系数化为1。
4。巩固练习
(1)解方程(2)当y为何值时,2(3y+4)的值比5(2y—7)的值大3?解5(x+2)=2(5x—1)
(巩固练习,抽两个同学上黑板去完成,其余的同学在演草纸上完成,待同学们完成后给予点评。)
5小结:和同学们一起回顾我们这节课学习了什么?
解一元一次方程
概念
含括号的一元一次方程的解法的解法
作业:1。P12 。1
2。预习下一节课的内容,
3。复习此节课的内容,并完成一下两道思考题。
思考:(1) 解方程: 。
说明:方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
(2) 该怎么求解?
一元二次方程是中学教学的主要内容,在初中代数中占有重要的地位,在一元二次方程的前面,学生学了实数与代数式的运算,一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组,上述内容都是学习一元二次方程的基础,通过一元二次方程的学习,就可以对上述内容加以巩固,一元二次方程也是以后学习(指数方式,对数方程,三角方程以及不等式,函数,二次曲线等内容)的基础,此外,学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。
九年义务教育大纲对这部分的要求是:“使学生了解一元二次方程的概念”,依据教学大纲的要求及教材的内容,针对学生的理解和接受知识的实际情况,以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识目标:使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。
能力目标:通过一元二次方程概念的教学,培养学生善于观察,发现,探索,归纳问题的能力,培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。
德育目标:培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
“一元二次方程”有着承上启下的作用,在今后的学习中有广泛的应用,因此本节课做为起始课的重点是一元二次方程的概念,一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式是本节课的难点。
在教学中,我发现有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力,针对学生中存在的这些问题,本节课突出对教学概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习。
教学中,我运用启发引导的方法让学生从一元一次方程入手,类比发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到问题解决。
1、新课导入:
课本引例(如图)由教师提出并分析其中的数量关系。(用实际问题引出一元二次方程,可以帮助学生认识到一元二次方程是来源于客观需要的)
1、知识与技能目标:认识一元二次方程,并能分析简单问题中的数量关系列出一元二次方程。
2、过程与方法:学生通过观察与模仿, 建立起对一元二次方程的感性认识,获得对代数式的初步经验,锻炼抽象思维能力。
3、情感态度与价值观:学生在独立思考的过程中,能将生活中的经验与所学的知识结合起来,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
重点:理解一元二次方程的意义,能根据题目列出一元二次方程,会将不规则的一元二次方程化成标准的一元二次方程。
难点:找对题目中的数量关系从而列出一元二次方程。
师:同学们我们就要开始学习一元二次方程了,在开始讲新课之前,我们首先来看一看第二十二章的这张图片,图片上有一个铜雕塑,有哪位同学能告诉我这是谁吗?
师:对,这是辽宁省抚顺市雷锋纪念馆前的雷锋雕像,雷锋叔叔一生乐于助人,奉献了自己方便了他人,所以即使他去世了,也活在人们心中,所以人们才给他做一个雕塑纪念他,同学们是不是也要向雷锋叔叔学习啊?
师:可是原来纪念馆的工作人员在建造这座雕像的时候曾经遇到了一个问题,也就是图片下面的这个问题,同学们想不想为他们解决这个问题呢?
师:同学们也都很乐于助人,好那我们看一看这个问题是什么,然后带着这个问题开始我们今天的学习一元二次方程。
师:我们来看到这个题目,要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕像的下部应设计为全高?同学们用AC来表示上部,BC来表示下部先简单列一下这个比例关系,待会老师下去看看同学们的式子。
师:今天大家学习了一元二次方程,同学们回去还要加强巩固,做练习题的1、2(2)题。
1. 了解整式方程和一元二次方程的概念;
2. 知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。
3. 通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。
难点:对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
1)知识结构:本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念,介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
理解一元二次方程的定义:
是一元二次方程 的重要组成部分。方程 ,只有当 时,才叫做一元二次方程。如果 且 ,它就是一元二次方程了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况:
(1)一元二次方程的条件是确定的,如方程 ( ),把它化成一般形式为 ,由于 ,所以 ,符合一元二次方程的定义。
(2)条件是用“关于 的一元二次方程”这样的语句表述的,那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于 的一元二次方程 ”,这时题中隐含了 的条件,这在解题中是不能忽略的。
(3)方程中含有字母系数的 项,且出现“关于 的方程”这样的语句,就要对方程中的字母系数进行讨论。如:“关于 的方程 ”,这就有两种可能,当 时,它是一元一次方程 ;当 时,它是一元二次方程,解题时就会有不同的结果。
1.了解整式方程和一元二次方程的概念;
2.知道一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学,初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点,激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点:
引例:剪一块面积是150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?
分析:1.要解决这个问题,就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。
深入引导:方程x(x十5)=150有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗?
1.从上面的引例我们有这样一个感觉:在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题,但有些方程我们解不了,但必须想办法解出来。事实上初中代数研究的主要对象是方程。这部分内容从初一一直贯穿到初三。到目前为止我们对方程研究的还很不够,从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)
2.什么是—元二次方程呢?现在我们来观察上面这个方程:它的左右两边都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程,就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程,但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的次数是几。如果方程未知数的次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程.(板书一元二次方程的定义)
下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
(2)(x十3)(3x·4)=(x十2)2; (4)(x—1)(x—2)=x2十8
从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的次数是否是2。
提问:一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?
引导学生回顾一元二次方程的定义,分析一元二次方程项的情况,启发学生运用字母,找到一元二次方程的一般形式
1).提问a=0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a=0、b≠就成了一元一次方程了)。
2).讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称.
3).强调:一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列:特别注意的是“=”的右边必须整理成0。
1.说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项:
(1)x2十3x十2=O (2)x2—3x十4=0; (3)3x2-5=0
(4)4x2十3x—2=0; (5)3x2—5=0; (6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项:
(1)6x2=3-7x; (3)3x(x-1)=2(x十2)—4;(5)(3x十2)2=4(x-3)2
(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一一元二次方程(如果方程未知数的次数为2,这样的整式方程叫做一元一二次方程);
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c=0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。特别注意的是“=”的右边必须整理成0;
(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中一二次项、一次项、常数项:二次项系数、一次项系数.
今天我说课的内容是人教版初中数学九年级上册第二十二章、第22.3节《实际问题与一元二次方程》的第四课时实验与探究。它是继传播问题、百分率问题、长宽比例问题这几个基本问题的学习后的探索活动课,对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析,教法的确定与学法指导,教学过程这四个方面加以阐述。
一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中数学中占有重要地位,其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性,它是一元一次方程应用的继续,又是二次函数学习的基础,它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛,在几何、物理及其它学科中都有应用,因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情,能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题,而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历,收集信息处理信息的能力较弱,这就构成了本节课的难点。
(二)数学新课程标准要求:
人人学有价值的数学,人人都获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点,确定了如下教学目标的:
1、知识与技能:能根据问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。以一元二次方程解决实际问题为载体,加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法:经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度与价值观:通过用一元二次解决实际问题,体会数学知识应用的价值,了解数学对促进社会进步和发展的作用。激发学生学习数学的兴趣,体会做数学的快乐,培养用数学的意识。
教学重点、难点及解决措施:
教师引导,学生自主探索、合作交流。
我们学校在去年实行了杜郎口中学的三三六的教学模式立体式、大容量、快节奏;自主学习三模块:预习、展示、反馈;课堂展示六环节:预习交流、明确目标、分组合作、展现提升、穿插巩固、达标测评。对于每个专题都要经历预习、展示和达标检测三个环节,经过一年的训练,学生们已经有较好的自学能力和小组合作能力,实践表明,学生给学生讲题,同学们会更有兴趣,也更容易接受,学生通过自我展示不但能激发他们的表现欲,还能提高语言表达能力和竞争意识。
我们让各个小组轮流来当课堂“小老师”,以提高他们的`合作水平和对试题的阅读理解能力,同学们和教师也会根据每个“小老师”讲解的具体情况来进行修正和补充,强调重点,总结规律。为了鼓励学生勤于思考,善于发问,我在课堂上引入“奖励分”制度,对于独特解法或有提出创造性问题的同学和小组给予1——3分的奖励。本节课是对一元二次方程应用的基本问题的学习后的探索活动课,在预习课上我已经下发了试题学案,并给每个小组分配了展示任务。学案上我选用了了四道实际问题,要求同学们找出试题特点和关键词语以及易错点,并用硬纸板和铁丝做出相应的试题模型。预习课上学生先做题再合作,同学们之间有充分的交流和讨论。
心理学研究表明,当外部刺激唤起主体的情感活动时,就更容易成为注意的中心,由此我选了这样的几道题:
1、在信息时代,邮政特快专递越来越受到广大用户的青睐。我们同学要给“希望小学”邮寄一些学习用具,为了保证学习用具不受潮损坏,同学们决定自己制作一个包装盒,为此,选用长80厘米,宽60厘米的纸板,在四个角截出四个大小相同的正方形,然后把四边折起,做成一个底面积为1500平方厘米的无盖长方体盒子,并配上相应的盖子,同学们想一想怎样求出盒子的高?
我先让每一个小组展示用硬纸板制作的模型,相互比较形状各异的长方体的纸盒,谈一谈有什么发现,同学们会说:截出正方形的边长不同,盒子的高,底面积也不同,还有正方形的边长就是盒子的高。展示小组再将问题具体解答,不难列出方程并解出方程的解,教师追问展示小组请说出解这道题需要注意
教学目标:
(一)知识与技能:
1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。
2、能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力。
(二)过程与方法目标:
1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会到转化的数学思想。
2、在理解配方法的基础上,熟练应用配方法解一元二次方程的过程,培养学生用转化的数学思想解决实际问题的能力。
(三)情感,态度与价值观
启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径,提高学生分析问题,解决问题的能力。
教学重点、难点:
重点:理解并掌握配方法,能够灵活运用用配方法解一元二次方程。
难点:通过配方把一元二次方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式。
教学方法:根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平,本节课采用问题教学和对比教学法,用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。
教学过程
学生活动
设计意图
一 复习旧知
用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=4 (2)( x+3)2=0
总结:上节课我们学习了用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
二 创设情境,设疑引新
在实际生活中,我们常常会遇到一些问题,需要用一元二次方程来解决。
例:小明用一段长为 20米的竹篱笆围成一个矩形,怎样设计才可以使得矩形的面积为9米?
三 新知探究
1 提问:这样的方程你能解吗?
x2+6x+9=0 ①
2、提问:这样的方程你能解吗?
x2+6x+4=0 ②
思考:方程②与方程①有什么不同?能否把它化成方程①的形式呢?
归纳总结配方法:
通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的解,这样的解法叫做配方法。
配方法的依据:完全平方公式
配方法的关键:给方程的两边同时加上一次项系数一半的平方
点拨:先通过移项将方程左边化为x2+ax形式,然后两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方,然后直接开平方求解。
四 合作讨论,自主探究
1、 配方训练
(1) x2+12x+( )=(x+6)2
(2) x2-12x+( )=(x- )2
(3) x2+8x+( )=(x+ )2
(4) x2+mx+( )=(x+ )2
强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性。
2、将下列方程化为(x+m)2=n
(n≥0)的形式并计算出X值。
(1)x2-4x+3=0
(2)x2+3x-1=0
解:X2-4X+3=0
移向:得X2-4X=-3
配方:得X2-4X+2^2=-3+2^2(两边同时加上一次项系数一半的平方)
即:(X-2)2=1
开平方,得:X-2=1或X-2=-1
所以:X=3或X=1
方程(2)有学生完成。
3、巩固训练:课本55页随堂练习第一题。
五 小结
1、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的基本思路:先将方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式,然后两边开平方就可以得到方程的解。
2、用配方法解二次项系数为一的一元二次方程的一般步骤:
(1) 移项(常数项移到方程右边)
(2) 配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方)
(3) 开平方
(4) 解出方程的根
六 布置作业
习题2.3第1,2题
两个学生黑板上那解题,剩余学生练习本上计算。
学生观看课件,思考老师提出的问题,得到:设该矩形的长为x米,依题意得
x(10-x)=9
但是发现所列方程无法用直接开平方法解。于是引入新课。
学生通过观察发现,方程的左边是一个完全平方式,可以化为( x+3)2=0,然后就可以运用上节课学过的直接开平方法解了。
方程②的左边不是一个完全平方式,于是不能直接开平方。学生陷入思考,给学生充分思考、交流的时间和空间。
在学生思考的时候,老师引导学生将方程②与方程①进行对比分析,然后得到:
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
(x+3)2=5
从而可以用直接开平方法解,给出完整的解题过程。
在学生充分思考、讨论的基础上总结:配方时,常数项为一次项系数的一半的平方。
检查学生的练习情况。小组合作交流。
学生归纳后教师再做相应的补充和强调。
学生分组完成方程(2)和课后随堂练习第一题
学生分组总结本节课知识内容。
一、教学目标
【知识与技能】
掌握应用因式分解的方法,会正确求一元二次方程的解。
【过程与方法】
通过利用因式分解法将一元二次方程转化成两个一元一次方程的过程,体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。
【情感态度价值观】
通过探讨一元二次方程的解法,体会“降次”化归的思想,逐步养成主动探究的精神与积极参与的意识。
二、教学重难点
【教学重点】
运用因式分解法求解一元二次方程。
【教学难点】
发现与理解分解因式的方法。
三、教学过程
(一)导入新课
复习回顾:和学生一起回忆平方差、完全平方公式,以及因式分解的常用方法。
(二)探究新知
问题1:一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的?
学生小组讨论,探究后,展示三种做法。
问题:小颖用的什么法?——公式法
小明的解法对吗?为什么?——违背了等式的性质,x可能是零。
小亮的解法对吗?其依据是什么——两个数相乘,如果积等于零,那么这两个数中至少有一个为零。
问题2:学生探讨哪种方法对,哪种方法错;错的原因在哪?你会用哪种方法简便]
师引导学生得出结论:
如果a·b=0,那么a=0或b=0
(如果两个因式的积为零,则至少有一个因式为零,反之,如果两个因式有一个等于零,它们的积也就等于零。)
“或”有下列三层含义
①a=0且b≠0②a≠0且b=0③a=0且b=0
问题3:
(1)什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解?
(2)用因式分解法解一元二次方程,其关键是什么?
(3)用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么?
(4)用因式分解法解一元二方程,必须要先化成一般形式吗?
因式分解法:当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解。这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。”
(三)巩固提高
1.用分解因式法解下列方程吗?
总结:右化零,左分解,两因式,各求解。
(四)小结作业
用因式分解法求解一元二次方程的步骤:
1.方程化为一般形式;
2.方程左边因式分解;
3.至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程;
4.两个一元一次方程的解就是原方程的解。
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念.
教学目标
了解一元二次方程的概念;一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念;应用一元二次方程概念解决一些简单题目。
1.通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。
2.一元二次方程的一般形式及其有关概念。
3.解决一些概念性的题目。
4.态度、情感、价值观
4.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。
重难点关键
1.重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
教学过程
一、复习引入
学生活动:列方程.
问题(1)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”
大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?
如果假设门的高为x尺,那么,这个门的宽为_______尺,根据题意,得________.
整理、化简,得:__________.
问题(2)如图,如果 ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.
如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:_______.
整理,得:________.
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,并整理.
二、探索新知
学生活动:请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数?
(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?
(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?
老师点评:
(1)都只含一个未知数x;
(2)它们的最高次数都是2次的;
(3)都有等号,是方程.
因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
例1.将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.
解:去括号,得:
40-16x-10x+4x2=18
移项,得:4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.
例2.(学生活动:请二至三位同学上台演练) 将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
解:去括号,得:
x2+2x+1+x2-4=1
移项,合并得:2x2+2x-4=0
其中:二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4.
三、巩固练习
教材P32 练习1、2
四、应用拓展
例3.求证:关于x的方程(2-8+17)x2+2x+1=0,不论取何值,该方程都是一元二次方程.
分析:要证明不论取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明2-8+17≠0即可.
证明:2-8+17=(-4)2+1
∵(-4)2≥0
∴(-4)2+1>0,即(-4)2+1≠0
∴不论取何值,该方程都是一元二次方程.
五、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课要掌握:
(1)一元二次方程的概念;
(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用.
六、布置作业
知识点:二元一次方程的概念及一般形式,二次项系数、一次项系数、常数项、判别式、一元二次方程解法
重点、难点:二元一次方程四种解法,直接开平方、配方法、公式法、因式分解法
教学形式:例题演示,加深印象!学完即用,巩固记忆!你问我答,有来有往!
大家下午好!我叫XXX,20XX年毕业于暨南大学,学的行政管理,现在教的是初中数学,希望能与大家有一个愉快的下午!
我们今天的课堂内容是复习一元二次方程。首先请同学们看黑板上的这4个等式,请判断等式是否是一元二次方程,如果是请说出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数以及常数项:
(4)3x -5x=3x 不是 整理式子得-5x=0所以为一元一次方程(追问为什么) 好,同学们都回答得非常好!那么我们所说的一元二次方程究竟是什么呢?我们从它的名字可以得出它的定义!
一元二次方程的一般形式为:ax +bx+c=0 (a ≠0)其中,a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。记住,a 一定不为0,b 、c 都有可能等于0,一元二次方程的形式多种多样,所以大家要注意找系数时先将一元二次方程化为一般式! 至于一个一元二次方程有没有根怎么判断,有同学能告诉老师吗?(没有就自己讲),好非常好!我们知道Δ是等于2-4ac 的,当Δ>0时,方程有2个不相同的实数根;当Δ=0时,方程有两个相同的实数根;当Δ
那说到求方程的根我们究竟学了几种求一元二次方程根的方法呢?我知道同学们肯定心里有答案,就让老师为你们一一梳理~
遇到形如x =n的二元一次方程,可以直接使用开方法来求解。若n 0, 则x=±n 。同学们能明白吗?
大家觉得直接开平方好不好用?简不简单?那大家肯定都想用直接开方法来做题,是吧?当然,中考题简单也不至于这么简单~但是我们可以通过配方法来将方程往完全平方形式变化。配方法我们通过2道例题来巩固一下:
简单的一眼看出来的:x -2x+1=0 (x-1)=0(让同学回答)
大家能听懂吗?现在我们一起来做一道练习题,2min 时间,大家一起报个答案给我!
大家都会做吗?还需要讲解详细步骤吗?
(3)讲完了直接开方法、配方法之后我们来讲一个万能的公式法。只要知道abc ,没有公式法求不出来的解,当然啦,除非是无解~
首先,公式法里面的公式大家还记得吗?
这个公式是怎么来的呢?有同学知道的吗?就是将一般式配方法得到的x 的`表达式,大家记住,会用就可以了,如果有兴趣可以课后试着用配方法进行推导,也欢迎课后找我探讨~这个公式法用起来非常简单,一找数、二代入、三化简。 我们来做一道简单的例题:
带入公式得:x=((-(-2))± 2) 2-4*(-4)*3/(2*3)
同学们你们解对了吗?
使用公式法时要注意的点:系数的符号要看准、代入和化简要细心,不要马失前蹄哈~
(4)今天的第四种解方程的方法叫因式分解法。因式分解大家会吗?好那今天由我来带大家一起见识一下因式分解的魅力!
简单来说,因式分解就是将多项式化为式子的乘积形式。
比如说ab+ab 可以化成ab (1+a)的乘积形式。
那么对于二元一次方程,我们的目标是要将其化成(mx+a)*(nx+b)=0 这样就可以解出x=-a/m x=-b/n
则可以化成4x +x+4x+1=0 x(4x+1)+(4x+1)=0 (x+1)(4x+1)=0
同学们都能明白吗?就是找出公因式,将多项式化为因式的乘积形式从而求解。 练习题:x -5x+6=0 x=2 x=3
好,复习完了二元一次方程我们熟知它的概念。只含有一个未知数且未知数项最高次数为2的等式,叫做二元一次方程。我们还要会找abc 系数,会用Δ=b-4ac 来判别方程实根的情况。还需要熟悉四种方程的解法,这是中考的重点考察内容。当然,具体用哪一种解题方法就需要结合具体的题目来选择了。如果形式简单可以直接用开平方则直接用开平方,否则首选因式分解法,再者选择配方法,最后的底线是公式法~当然每个人的习惯不一样,熟悉的方法也不一样,同学们可以自行选择万无一失的方法,像老师不到万不得已绝对不用公式法,哈哈哈哈~好啦,上完这一个复习课希望大家都能有收获!
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题.
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题.
1.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢?
2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么?
3.梯形的面积公式是什么?
4.菱形的面积公式是什么?
5.平行四边形的面积公式是什么?
现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的'上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模.
∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m.
答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得:中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.
数学教案-一元二次方程的根的判别式(一)
1. 知识结构:
2. 重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为 .因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
3. 教法建议:
(1)引入要自然、合理
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.一、教学目标
1. 理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2. 通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的'研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点·难点及解决办法
1.教学重点:会用判别式判定根的情况。
2.教学难点:一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程()
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程:① ;② ;③ 。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ,因此对于被开方数 来说,只需研究 为如下几种情况的方程的根。
(1)当 时,方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当 时,方程有两个相等的实数根,即 。
(3)当 时,方程没有实数根。
教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答: 。
3.①定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号“ ”表示。
②一元二次方程 。
当 时,有两个不相等的实数根;
当 时,有两个相等的实数根;
当 时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1) 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当 ,说“方程 没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1 不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1) ;(2) ;(3) 。
解:(1)
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
,
∴原方程有两个相等的实数根。(3)原方程可变形为
。
∴原方程没有实数根。
学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的(2)计算 的值;(3)判别根的情况。
强调两点:(1)只要能判别 值的符号就行,具体数值不必计算出。(2)判别根据的情况,不必求出方程的根。
练习:不解方程,判别下列方程的情况:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) ;
(5) ;(6)
学生板演、笔答、评价。
(4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设 ,判别方程 根的情况,由此判别原方程根的情况。
例2 不解方程,判别方程 的根的情况。
解: 。
又 ∵ 不论k取何实数, ,
∴ 原方程有两个实数根。
教师板书,引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围,从而确定 的取值。
练习:不解方程,判别下列方程根的情况。
(1) ;
(2) ;
(3) 。
学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。
(3)解:
∵ 不论m取何值, ,即 。
∴ 方程无实数解。
由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值。
(二)总结、扩展
1.判别式的意义及一元二次方程根的情况。
(1)定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号“ ”表示。
(2)一元二次方程 。
当 时,有两个不相等的实数根;
当 时,有两个相等的实数根;
当 时,没有实数根。反之亦然。
2.通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。
四、布置作业
教材P27A1~4。
5.不解方程,判断下x的方程的根的情况
(1)
(2)
五、板书设计
教学目标:
1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型
2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点
1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点
1、建立一元二次方程实际问题的数学模型
2、把一元二次方程化为一般形式
教学方法:指导自学,自主探究
课时:第一课时
教学过程:
(学生通过导学提纲,了解本节课自己应该掌握的内容)
一、自主探索:(学生通过自学,经历思考、讨论、分析的过程,最终形成一元二次方程及其有关概念)
1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容;化简上述三个方程。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点?
你能把这些特点用一个方程概括出来吗?
3、请同学看课本40页,理解记忆一元二次方程的概念及有关概念
你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点?你还掌握了什么?
二、学以致用:(通过练习,加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握)
1、下列哪些是一元二次方程?哪些不是?
①②③
④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=0
2、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程,如果是,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
3、若关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0是一元二次方程,则k的值是多少?
4、关于x的方程(k2-1)x2+2(k+1)x+2k+2=0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?
5、以-2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项,请你写出满足条件的不同的一元二次方程?
三、反思:(学生,进一步加深本节课所学内容)
这节课你学到了什么?
四、自查自省:(通过当堂小测,及时发现问题,及时应对)
1、下列方程中是一元二次方程的有()A、1个B、2个 C、3个D、4个
(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________,系数为_______,一次项系数为______,常数项为______。
3、关于x的方程(㎡-4)x2+(m+2)x+2m+3=0,当m__________时,是一元二次方程;当m__________时,是一元一次方程.
作业:必做题:习题7.1
选做题:(挑战自我)p41随堂练习
1、已知关于的方程是一元二次方程,则为何值?
2、当m为何值时,方程(m+1)x+1+27mx+5=0是关x于的一元二次方程?
3、关于的一元二次方程(m-1)x2+x+㎡-1=0有一根为,则的值多少?
4、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种(如图),根据两种设计各列出方程,求图中道路的宽分别是多少,使图(1),(2)的草坪面积为540米2?
(1)(2)
板书设计:一元二次方程
定义:一个未知数整式方程可以化为
一般形式ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)
二次项一次项常数项
系数为a系数为b
教学反思
这次我参加了区里组织的优质
课比赛,这次的优质课采用市里要求的1/3模式,这对于我们来说具有一定的挑战性。所谓“1/3模式”,就是把课堂教学时间大致分为3个部分,1/3的时间个人自主学习,1/3的时间小组合作学习,1/3的时间全班交流讨论。在1/3模式中,整个教学过程由教师和学生共同参与,每个环节1/3的时间只是大致的划分,可根据学习内容灵活安排。这就对教师提出了较高的要求。
首先要准备好学案。学案就是学生学习的依据。在学案里,教师要提出明确的学习要求。学习要求可包括以下方面:完成学习任务的时间、学习内容的范围、完成学习任务所要达到的程度、自主学习成果展现的形式等。这就要求教师要提前考虑周全,对于学生学习的要求要一次性提出,内容上有梯度。学生自主学习时,教师要深入学生当中,观察学生的学习状况,检查学习任务完成的情况,有针对性的指导和帮助教师对自主学习方法和途径的指导要适度,既要满足学生完成学习任务的需要,又不能挤占学生自主探究的空间
其次,学习氛围是合作学习成功的关键之一,教师要营造安全的心理环境、充裕的时空环境、热情的帮助环境、真诚的激励环境,只就要求教师在语言上也要有较高水平,会发动学生,会调动学生的积极性,让课堂气氛活跃起来,让学生充分发挥自己的水平。
再是,由于课堂上主要是以学生为主。这就要求教师尽量少讲,要充当好组织者、引导者、倾听者的角色,不要急于发表自己的观点,只要学生能讲的教师就不要讲,要避免因为教师呈现自己的观点而打破学生的讨论。学生说完的东西,如果没有问题,教师就不要重复。教师对学习内容要点的讲解要有的放矢,能起到画龙点睛的作用。要在学生原有的水平上进行提升,有助于学生加深对知识的理解。
我们只有在教学中不断的学习,不断的改进自己,才能保证我们的课堂很精彩,是名副其实的优质课。
一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中数学中占有重要地位,其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性,它是一元一次方程应用的继续,又是二次函数学习的基础,它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛,在几何、物理及其它学科中都有应用,因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情,能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用。
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题,而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历,收集信息处理信息的能力较弱,这就构成了本节课的难点。
数学新课程标准要求:人人学有价值的数学,人人都获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展。
教学目标:
1、知识与技能:能根据问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。以一元二次方程解决实际问题为载体,加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法:经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度与价值观:通过用一元二次解决实际问题,体会数学知识应用的价值,了解数学对促进社会进步和发展的作用。激发学生学习数学的兴趣,体会做数学的快乐,培养用数学的意识。
教学重点、难点及解决措施:
教师引导,学生自主探索、合作交流。
心理学研究表明,当外部刺激唤起主体的情感活动时,就更容易成为注意的中心,由此我选了这样的几道题:
1、在信息时代,邮政特快专递越来越受到广大用户的青睐。我们同学要给“希望小学”邮寄一些学习用具,为了保证学习用具不受潮损坏,同学们决定自己制作一个包装盒,为此,选用长80厘米,宽60厘米的纸板,在四个角截出四个大小相同的正方形,然后把四边折起,做成一个底面积为1500平方厘米的无盖长方体盒子,并配上相应的盖子,同学们想一想怎样求出盒子的高?
我先让每一个小组展示用硬纸板制作的模型,相互比较形状各异的长方体的纸盒,谈一谈有什么发现,同学们会说:截出正方形的边长不同,盒子的高,底面积也不同,还有正方形的边长就是盒子的高。展示小组再将问题具体解答,不难列出方程并解出方程的解,教师追问展示小组请说出解这道题需要注意意的什么呢?学生会回答方程的一个解并不一定符合题意,需要舍掉,教师强调指出要结合题目的已知条件正确决定一元二次方程两个根的取舍问题。
设置这道题就完成了新课标中的要求能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理的教学目标。
2、用一根长22厘米的铁丝折成一个面积为30平方厘米的长方形,求这个长方形的长和宽。
我还是先让每个小组展示用铁丝折成的不同形状的长方形,比较一下,你有什么发现,同学们会说:
1、铁丝的长度就是矩形的周长;
2、周长相等的矩形可能面积不等;
3、当长与宽的差越大时其面积越小,当长与宽的差越小时其面积越大,从而得出周长一定时正方形的面积最大的结论。
教师对同学们的发现给予充分的肯定,然后由展示小组讲解本题具体解题过程,教师追问请同学们思考能折成面积为32平方厘米的长方形么?给同学们3分钟的时间思考并讨论。
教学预设:学生可能列出方程,从的根的判别式小于零来说明不能折成面积为32平方厘米的长方形。也可能根据刚刚得到的结论周长一定时正方形的面积最大这一特性来解释,正方形的边长为5、5厘米,此时面积最大是30、25平方厘米小于32平方厘米,所以不能完成。若是学生没有想到,教师可适当提示。这道题让学生经历从具体的情景中抽象出一元二次方程模型的过程,总结具体问题中的数量关系和变化规律,即复习了根的判别式知识,又培养了学生的估算能力,还让学生感受到了函数的最值和极限的思想。
3、有一个面积为150平方米的长方形鸡场,一边靠墙,墙的'长度为18米,另外三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长35米,求鸡场的长和宽各是多少?如果墙的对面有一扇2米的门,竹篱笆的长不变,此时鸡场的长和宽是多少呢?
教师首先提问展示小组解答这道试题与上道试题与什么区别和要注意些什么,展示的小组学生会说鸡场这个长方形的周长不是四边,而是三边之和,而且要注意第二问中周长应是竹篱笆的长加上门的宽度,学生们也不难列出方程。选用这道题是让学生认识到仔细审题,抓住关键词语的重要性,同时也让同学们感受到一元二次方程应用的广泛性。
4、学校为美化校园,准备在长为32米,宽20米的长方形场地上修筑宽度一样的道路,余下的部分作草坪,要求草坪为540平方米,你能帮助学校设计一套方案么?请展示你的设计并计算一下设计方案中,道路的宽是多少米?(要求多种方案)
我觉得将学生置于学校的生活环境中他们会觉得亲切熟悉,参与性更强。同学们可能会提出多种设计方案,例如:图片。教师展示小组如何能得到草坪的面积?他们不难回答出:草坪面积等于场地面积减去道路面积,教师要引导学生发现其规律:无论道路的位置在哪里,我们都可以将分割的四个草坪合成一个整体,道路的面积与道路的位置没有关系,而是与道路的形状有关系。为了研究问题的方便,我们可以把道路移动到场地的边缘,这是对学生渗透划归的思想。教学预设:学生们还可能提出以下的方案,(图案)我们可以让学生讨论他们的合理性。对于不能解决的问题,我们要告诉学生有些方案以我们现在的知识还不能解决,有些方案要同学们附加一些条件按照自己的意图,来解决,还要考虑美观合理性。我们可以课下继续研究讨论。这个试题能使学生产生了积极的情感体验,激发了学生从多角度去思考问题,体会到了解决问题中与他人合作的重要性,通过对解决问题的过程的反思获得了解决的经验,充分发挥了学生的主体地位,有效地培养了学生的创新精神,同学间的互助精神也得到了发扬。
然后是小结环节,由学生来完成,总结出:
1、用一元二次方程解决实际问题均可借助图示法加以分析,关键搞清已知与未知之间的关系。
2、要仔细审题,理解题意中的已知条件,并结合实际,正确决定一元二次方程两个根的取舍问题。
小结归纳,上升到理性,巩固本节课的重点。
最后是布置作业:
2、做一个社会,调查自己编一道实际生活中有关一元二次方程的问题,并给予解决。
布置的作业内容一是本节课内容的练习和拓展,内容二是为学生创设富有挑战性、具有现实意义的问题情境,使学生感受到数学问题来源于生活实际,而生活本身就是一个巨大的数学课堂。同学们通过实践来认证书本的知识,同时又加深对书本知识的理解。
我希望学生们能通过以上这几个环节感受到这是一堂愉快的合作,深刻的理解,活跃的讨论,轻松的记忆的数学课。
趣祝福编辑为您搜集整理了这篇“一元一次方程教案”的内容。每个老师上课需要准备的东西是教案课件,我们需要静下心来写教案课件。让优秀的教案为教师的授课注入新的灵感和力量。建议您收藏本页以便随时复习!
一、教学目标
1、知识技能目标:
(1)、了解“去括号”是解方程的重要步骤。
(2)、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程。
2、能力目标
(1)学会对所学过的知识进行整理和归纳;进一步发展学生抽象概括的能力。
(2)准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程。
(3)学会利用列一元一次方程去解决有关数学问题,进一步发展学生的实践能力。
3、情感目标
(1)通过问题的探究,激发学生的好奇心和求知欲,让学生主动参与教学活动,从而让学生形成主动了解数学、应用数学的态度。
(2)通过合并同类项、移项、去括号的法则的复习,引导学生对知识的整理和归纳,并在运用数学知识解决问题的活动中让学生获取成功的体验,从而建立学习的自信心。
二、教学重点
重点:了解“去括号”是解方程的重要步骤。
难点:括号前是“-”号的,去括号时,括号内的各项要改变符号,乘数与括号内多项式相乘,乘数应乘遍括号内的各项。
三、教学过程
【活动一】温故而知新(多媒体展示)
填 空
1.去括号法则是: 负变正不变 ;
2.化简下列各式:
(1)a (b+c)= ab+ac ;
(2) 7(x-1)= 7x-7 ;
(3) -2(x+3)=-2x-6 ;
(4) -(x-1.5)=-x+1.5 ;
3.合并同类项法则: (同类项)系数相加,字母(部分)不变 ;
4.合并同类项。
(1)、 2x-3x= -x ;
(2) 、3x-2(x-1.5)= x+3 ;
(3)、 2a+3(5-4a)= 15-10a ;
(4)、-3[1-3(x-1)]= 9x-12 ;
5.解一元一次方程的一般步骤是: 移项、合并同同类项、系数化为1; 6.方程5x-2x=9的解是 x=3 ;
7.方程8x-19=6x-9的解是 x=5 ;
8. 说说下列这个方程和我们以前学的方程有什么不同?你会解下列方程 吗?
3x-7(x-1)=3-2(x-3)
出示课题:3.3解一元一次方程(二)---去括号
【活动二】探究新知(多媒体展示)
1.P96.问题:某工厂加强节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电量减少2000度,全年用电15万度,这个工厂去年上半年每月平均用电多少度?
◆你会用方程解决这个问题吗?
分析:设上半年每月平均用电x度,
则下半年每月平均用电 (x-2000 度;
上半年共用电 6x 度;
下半年共用电 6(x-2000)度。
根据全年用电15万度,可列方程
6x+6(x-2000)=150000 。
去括号,得: 6x+6x-12000=150000 ,
移项,得: 6x+6x=150000+12000
合并同类项,得:12x=1620000 ,
系数化为1,得 : x=13500 。
由上可知,这个工厂上半年每月平均用电13500度
2.思考:本题还有其他列方程的方法吗?
用其他方法列出的方程应该怎样解?
3. ◆小结:目前我们解含有括号的一元一次方程的一般步骤是:
去括号——移项——合并同类项——系数化为一
【活动三】范例学习(多媒体展示)
例1:解方程 3x-7(x-1)=3-2(x+3)。
解:去括号,得:
移项,得:
合并同类项,得:
系数化为1,得 :
【活动四】随堂练习(多媒体展示)
1 解下列方程
(1). 5x+(2-4x)=0 (2).8y-3(3y+2)=6
(3).4x+3(2x-3)=12-(x+4) (4).1+2[1-3(x-1)]=4x
◆小结。 在同一个方程中如果遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
【活动五】新知应用,拓展提升。(练习册P49—P50)(多媒体展示)
1.方程4(2-x)-3(x+1)=6的解是 ( C )
A. x=7; B. C. D.x=-7
2.若方程3x+(2a+1)=x-(3a+2)的解是0,则a的值等于( D )
A. B. C. D. 3.代数式5a+4与3(a+4)互为相反数,则a的值是 ( B )
A. -1 ; B. -2; C. 1 ; D. 2.
4.目前我省小学和初中在校生共136万人,其中小学在校生人数比初中生在校生人数的2倍少2万人,目前我省初中在校生有 46 万人。
5.(1)若x=4时,代数式5(x+b)-10与(b+4)x的值相等,则b= 6 。
(2)当m= 16 时,方程5x+4=4x-3和2(x+1)-m=-2(m-2)的解相同。
6、 列方程求解:
(1)当x= 0 时,代数式 2(3x+7)和 14-10.5x的'值相等?
(2)、当y= 10 时,代数式2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3?
【活动六】总结提炼:(多媒体展示)
1.说说你的收获
2. 目前我们解含有括号的一元一次方程的一般步骤是:
去括号——移项——合并同类项——系数化为1
3.去括号时要注意什么?注意:
(1)当括号前是“-”号,去括号时,各项都要变号。
(2)括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。
(3)在同一个方程中如果遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。 4.你还有何疑惑?
【巩固练习】 (多媒体展示)
A组 解方程:
(1)5(x+2)=2(5x-1) (2)4x+3=2(x-1)+1
(3)(x+1)-2(x-1)=1-3x (4)2(x-1)-(x+2)=3(4-x)
B组:已知 A= 3x+2, B=4+2x
① 当x取何值时, A=2B;
② 当x取何值时, 3A=1-2B
C组 列方程求解:
(1)当x取何值时,代数式4x-5与3x-6的值互为相反数?
(2)一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时。顺风飞行需要2小时50分,
逆风飞行需要3小时,求无风时飞机的速度和两城之间的航程。
教学目的
1、使学生巩固等式与方程的概念。
2、使学生掌握等式的性质和灵活掌握一元一次方程的解法,培养学生求解方程的计算能力。
教学分析
重点:熟练掌握一元一次方程的解法。
难点:灵活地运用一元一次方程的解法步骤,计算简化而准确。
突破:多练习,多比较,多思考。
教学过程
一、复习
1、什么是一元一次方程?一元一次方程的标准形式是什么?它的。解是什么?
2、等式的性质是什么?(要求说出应注意的两点)
3、解一元一次方程的基本步骤是什么?
以解方程-2x+=为例,说明解一元一次方程的基本步骤与注意点,并口头检验。
二、新授
1、已知方程(n+1)x|n|=1是关于x的一元一次方程,求n的值。
分析:根据一元一次方程的定义,得|n|=1且n+1≠0,解得n=1。
解:略
2、下列说法中,正确的是( )。
A -3x=0的解是x=-3
B -x+1=4的解为x=-
C-1=的解是x=1
D x2-x-2=0的解是x=2, x=-1(D正确)
3、x等于什么数时,代数式x+5的值比的值小2。
解:(解略,应根据题目的意思列出方程。)
4、根据下列条件列出方程,并求出方程的解。
(1) 某数x的3倍减去9,等于某数的3分之1加上6;
(2) 已知-3m3(x-2)n与25m2+xn是同类项,求x的值;
(3) 已知代数式2[(x-1)+5]+x+1与代数式3[x-8(x-4)]+7的值互为相反数,求x的值。
5根据下列方程的特点解方程。
(题目见课本中P208、16的2,4)
三、练习
P209习题:20。
四、小结
1、略。
五、作业
1、P240 A:1,2,3,4。
2、B:1,2。
3.2.1解一元一次方程
(一)——合并同类项
执教人 汪雄兵
教学内容
新人教版七年级上册第88-89页 教学目标
一、知识与技能
1、会根据实际问题找相等关系列一元一次方程;
2、会利用合并同类项解一元一次方程。
二、过程与方法
体会方程中的化归思想,会用合并同类项解决“ax+bx=c”型方程,进一步认识如何用方程解决实际问题。
三、情感态度
通过对实际问题的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
教学重点:会列一元一次方程解决实际问题,?并会合并同类项解一元一次方程.
教学难点:会列一元一次方程解决实际问题。教法学法:自主探索、合作交流、指导探究 授课类型:新授课 课时安排 1课时 教学过程设计
一、复习回顾,引入新课
合并同类项的法则:各项系数相加,字母和字母的指数不变。
本节结合一些实际问题讨论:
(1)如何根据实际问题列一元一次方程?(2)如何解一元一次方程?
二、创设情境,提出问题
约公元825年,中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程。这本书的拉丁文译本取名为《时消与还原》。思考:“对消”与“还原”是什么意思?
我们先讨论下面的问题,然后再回答这个问题。
三、探索合并同类项解一元一次方程
问题1 某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机?
分析:设前年购买计算机x台。则去年购买计算机2x台,今年购买计算机4x台。
问题中的相等关系是什么?
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台 依题意,可得方程: x+2x+4x=140 这个方程怎么解呢?我们知道,解方程的最终结果是要化为x=a的形式,为此可以作怎样的变形?
合并同类项,得 7x=140 系数化为1,得
x=20 所以前年这个学校购买了20台计算机。
注意:本题蕴含着一个基本的等量关系,即总量=各部分量的和。思考:上面解方程中“合并同类项”起了什么作用?
它把含未知数的项合并为一项,从而向x=a的形式迈进了一步,起到了化简的作用。
四、例题
例1 解方程7x-+3x-=-15×4-6×3 解:合并同类项,得6x=-78 系数化1,得 x=-13 注意:如果方程中有同类项,一定要先合并同类项。
五、课堂练习
课本89页练习
六、课堂小结
1、合并同类项解一元一次方程。
通过合并同类项把方程化为ax=b(a≠0,a、b是常数)的形式,从而简化方程。
2、列一元一次方程解实际问题。(1)找等量关系是关键,也是难点;
(2)注意抓住基本等量关系:总量=各部分量的和。
七、布置作业:
第93页习题第1、3题
《理解一维线性方程组》教学设计
南岭中学范荣华
教学目标
1.在中国定量关系分析中,感觉方程是描述现实世界的有效模型。
2.观察和归纳一维线性方程的概念,理解方程解的概念。
3.通过用一维线性方程描述你身边的问题,你可以体验到数学知识的应用价值。
教学重点
1.归纳和理解一变量线性方程组的概念,根据等价关系正确列出一变量线性方程组。
2.从实际问题建立方程并应用模型的思想。
教学难点
正确找出实际问题中的等价关系。
教学过程
1.情况介绍
1.老师:同学们,你们知道老师几点上课吗? 2岁就开始工作了吗?老师给了一个条件,看你能不能猜出我的起始工作年龄:我的起始工作年龄乘以3,然后-3等于60。
2。说出答案并请他解释它是如何计算的(方法可以是算术或方程方法)。 方程法回顾:什么是方程?
3.揭示本课的教学内容,提出学习目标。
2.探究问题情况,建立方程模型
1.师生共同探究问题情境 1.指导观察和阅读课本P130的插图:
①思考:问题中的已知量是多少?未知量是多少?它们有什么关系?问题中的等价关系是什么?如何制定方程式?
②指导交流,教师提出意见和补充。
2.让学生按照探究题1的方式思考并解决P130-P131剩下的四道题。
教师检查提示找出已知量、未知量及等价关系,列出方程式,并注意问题中的不同单位。
3.指导学习成果交流。
4.总结:这些实际问题中包含各种数量关系,但是这些不同的数量关系可以用方程模型来表达。 方程的数学模型是我们解决现实世界中许多问题的一种简单而有效的方法,我们将在未来的研究中进一步了解这一点。
三、探索一维线性方程的概念
1.一个讨论:我们前面列出的方程中,哪些是我们熟悉的方程?他们有什么共同点?
2。全班交流,引导归纳一维线性方程的概念:一个方程中只有一个未知数,未知的次数为1。这样的方程称为单变量A一阶方程。
3.练习:确定以下哪些方程是方程,哪些是一个变量中的线性方程
-2+5=32x2?1? 03m?2x?3?0y?0x?x?1x?y?13
4.引入“方程的解”的概念:使方程左右两边相等的未知数的值。 比如x=2就是方程的8x-5=11解; x=6 是方程 40+10x=100 的解。 (快速判断方法:将未知数代入方程)
4.巩固练习
完成P131“课堂练习”。
V.教学总结
1.学生:告诉我你在这节课中学到了什么?
2.师:在这堂课中,通过探索实际问题和建立方程模型,我们知道了一维线性方程组和方程组的解,也知道不同的定量关系可以用方程组来表达这个模型,帮助我们轻松高效地解决问题.
6.布置作业
1.完成 P132“练习”。
2.阅读P129引言部分的丢番图墓志铭,列出计算丢番图死时年龄的方程式,并尝试求解。
一、教学目标 :
1、通过对多种实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
2、通过观察,归纳的概念
3、积累活动经验。
二、重点和难点
重点:归纳的概念
难点:感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义
三、教学过程
1、课前训练一
(1)如果 | | =9,则 = ;如果 2 =9,则 =
(2)在数轴上距离原点4个单位长度的数为
(3)下列关于相反数的说法不正确的是( )
A、两个相反数只有符号不同,并且它们到原点的距离相等。
B、互为相反数的两个数的绝对值相等
C、0的相反数是0
D、互为相反数的两个数的和为0(字母表示为 、 互为相反数则 )
E、有理数的相反数一定比0小
(4)乘积为1的两个数互为 倒数 ,如:
(5)如果 ,则( )
A、 , 互为倒数 B、 , 互为相反数 C、 , 都是0 D、 , 至少有一个为0
(6)小明种了一棵高度为40厘米的树苗,栽种后每周树苗长高约为12厘米,问大约经过几周后树苗长高到1米?设大约经过 周后树苗长高到1米,依题意得方程( )
A、 B、 C、 D、 00
2、由课本P149卡通图画引入新课
3、分组讨论P149两个练习
4、P150:某长方形的足球场的周长为310米,长与宽的差为25米,求这个足球场的长与宽各是多少米?设这个足球场的宽为 米,那么长为( +25)米,依题意可列得方程为:( )
A、 +25=310 B、 +( +25)=310 C、2 [ +( +25)]=310 D、[ +( +25)] 2=310
课本的宽为3厘米,长比宽多4厘米,则课本的面积为 平方厘米。
5、小芳买了2个笔记本和5个练习本,她递给售货员10元,售货员找回0.8元。已知每个笔记本比练习本贵1.2元,求每个练习本多少元?
解:设每个练习本要 元,则每个笔记本要 元,依题意可列得方程:
6、归纳方程、的概念
7、随堂练习PO151
8、达标测试
(1)下列式子中,属于方程的是( )
A、 B、 C、 D、
(2)下列方程中,属于的是( )
A、 B、 C、 D、
(3)甲、乙两队开展足球对抗比赛,规定每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。甲队与乙队一共进行了10场比赛,且甲队保持了不败记录,甲队一共得22分。求甲队胜了多少场?平了多少场?
解:设甲队胜了 场,则平了 场,依题意可列得方程:
解得 =
答:甲队胜了 场,平了 场。
(4)根据条件“一个数 比它的一半大2”可列得方程为
(5)根据条件“某数 的 与2的差等于最大的一位数”可列得方程为
四、课外作业 P151习题5.1
它山之石可以攻玉,以上就是范文为大家带来的4篇《七年级数学一元一次方程及其解法复习教案》,能够帮助到您,是范文最开心的事情。
学习目标
1、 了解一元一次方程及其相关概念
2、 掌握等式的性质,理解掌握移项法则
3、 会用等式的性质解一元一 次昂成(数字系数),掌握解一元一次方程的基本方法
4、 能够以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题,包括列方程、求解方 程和解释结果的实际意义及合理性,提高分析问题、解决问题的能力
5、 初步学会用方程的思想思考问 题和解决问题的一些基本方法,学会用数学的方法观察、分析、归纳和总结 现实情境中的实际问题。
重点
难点 重点:解方程、用方程解决 实际问题
难点:用方程解决 实际问题
教学流程
师生活动 时间 复备标注
一、结合课本112页知识结构图和回顾与思 考中的问题,复习本章的知识点,形成框架,巩固重点知识
二、典 例回顾
1、一元一次方程的概念:
例1.试判断下列方程是否为一元一次方程。
(1)。x=5 (2)。 x2+3x=2 (3) 。2x+3y=5
2、一元一次方程的解(根 ):
判断下列x值是否为方程 3x-5=6x+4 的解。
(1)。x =3 (2)x=3
3、解一 元一次方程的基本 思路 :
4、解决问题的基本步骤
例5:整理一批 图书,由一个人做要40小 时。现在计划由一部分人先做4小 时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作。假设这些人 的工作效率下共同, 具体 应先安排多少人工作?
解:设先安排x人工作4小时。根据两段 工作量之和应是总工作量,由此,列方程:
去分母,得 4x+8(x+2) =40
去括号,得 4x+8x+16=40
移项及合并,得12x=24
系数化为1, 得x=2
答:应先安排2名工人工作4小 时。
注意:工作量=人均效率人数时间
本题的关键是 要人均效率与人数和时 间之间的数量关系。
三、基础训练:课本第113页第1.2.3题。
四 、综合训练:课本113页至114页4.5.6.7.8
五、达标训练:3.7
六、课堂小结: 收获了哪些?还有哪些需要再学习?
学生作业
课件出示 问题明确 知识要点
学生练习基础上,教师点拨
一、教材分析
1、教材地位和作用
本节课是预初第二学期第六章《一元一次方程及其解法》中第一节课的内容。是小学与初中知识的衔接点,学生在小学已经初步接触过方程,了解了什么是方程,什么是方程的解。并在前一章刚学过有理数的概念及其运算的基础上,本节课将带领学生继续学习方程、一元一次方程等内容。要求教师帮助学生在现实情境中,通过对多种实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界的模型的意义,建立方程归纳得出一元一次方程的概念并用尝试检验法来求解,同时也为学生进一步学习一元一次方程的解法和应用起到铺垫作用。
2、教学目标
综上分析及教学大纲要求,本课时教学目标制定如下:
⒈会运用等式的两条基本性质对等式进行变形;运用等式的性质和移项法则解一元一次方程;
⒉会根据简单数量关系列方程,通过观察、归纳一元一次方程的概念。
⒊体会解决问题的一种重要的思想方法----尝试检验法。
3、情感目标:
培养学生由算术解法过渡到代数解法的`解方程的基本能力,渗透化未知为已知的重要数学思想。
4、教学重点和难点
1.运用等式的基本性质对等式进行变形。
2.移项法则及方程解的检验。
二、教法与学法分析
教法方法与手段:
本节课利用多媒体教学平台,在概念教学设计中,注意遵循人们认识事物的规律,从具体到抽象,从特殊到一般,由浅入深。从学生熟悉的实际问题开始,将实际问题“数学化”建立方程模型。采用教师引导,学生自主探索、观察、归纳的教学方式。利用多媒体和天平演示等教学设备辅助教学,充分调动学生的积极性。
学法指导:
根据本节课的内容特点及学生的心理特征,在学法上,极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法。通过对学生原有知识水平的分析,创设情境,使数学回到生活,鼓励学生思考,探索情境中的所包含的数量关系,学生在经历“建立方程模型”这一数学化的过程后,理解学习方程和一元一次方程的意义,培养学生抽象概括等能力。
三、教学设计
根据以上综合分析,这节课的教学流程为:
联系实际,创设情境——观察归纳,建构新知——交流对话,自我探索——理解性质,应用巩固——总结反思,布置作业。
教学目标:
1、能说出什么叫一元一次方程;
2、知道“元”和“次”的含义;
3、熟练掌握最简一元一次方程的解法及理论依据;
能力目标:
1、培养学生准确运算的能力;
2、培养学生观察、分析和概括的能力;
3、通过解方程的教学,了解化归的数学思想。
德育目标:
1、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义思想;
2、通过对方程的解进行检验的习惯的培养,培养学生严谨、细致的学习习惯和责任感;
3、在学习和探索知识中提高学生的学习能力、合作精神及勇于探索的精神;
重点:
1、一元一次方程的概念;
2、最简方程的解法;
难点:正确地解最简方程。
教学方法:引导发现法
教学过程
一、旧知识的复习:
1、什么叫等式?等式具有哪些性质?
2、什么叫方程?方程的解?解方程?
二、新知识的教学:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的次数都是一次。
想一想:
(1)你认为最简单的一元一次方程是什么样的?
(2)怎样求最简方程(其中是未知数)的解?
三、巩固练习
1、通过练习,请你总结一下,解方程(是未知数)把系数化为1时,怎样运用等式的性质2,使计算比较简单。
2、检测:
3、课堂小结:
四、本节学习的主要内容
1、一元一次方程定义;
2、最简方程(其中是未知数);
3、解最简方程的主要思路和解题的关键步骤及依据。
五、课堂作业。
小编从各个方面搜集的资料使这篇“解一元二次方程课件”更加完美,建议您将本页收藏方便后续查看。教案课件是每个老师在开学前需要准备的东西,每个人都要计划自己的教案课件了。做好教案对于教师具有非决定性的作用。
教学目标
知识与技能目标
1、构建本章的部分知识框图。
2、复习一元二次方程的概念、解法。
过程与方法
1、通过对本章方程解法的复习,进一步提高学生的运算能力。
2、在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
情感、态度与价值观
通过师生共同的活动,使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系,从而体验学习数学的成就感.
教学重点
1、一元二次方程的概念
2、一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法;
教学难点
解法的灵活选择;例4和例5的解法。
教学过程
一、创设情境
导入新课
问题:本章中,我们有哪些收获?(教师点拨引导学生构建本章部分知识框图)
二、师生互动
共同探究
1、复习概念
例1
例2
2、四种解法
(1)
解法及其关系
(2)
根的形式
x1=3
x2=4
(3)熟悉解法
例3用四种解法分别解此方程
(4)方法优选
3、方法补充
例4
4、解法纠错
例5
解关于x的方程
错误解法
正确解法
三、小结反思
提炼思想
我们有哪些收获?解方程的思想方法是什么?
四、布置作业
巩固提高
“一元二次方程的根的判别式”一节,在整个中学数学中占有重要的地位,既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况,又可以为今后研究不等式,二次三项式,二次函数,二次曲线等奠定基础,并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习,培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的`能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力,并向学生渗透分类的数学思想,渗透数学的简洁美。
教学关键:对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
学生已经学过一元二次方程的四种解法,并对 的作用已经有所了解,在此基础上来进一步研究 作用,它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说,学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力。
依据教学大纲和对教材的分析,以及结合学生已有的知识基础,本节课的教学目标是:
知识和技能:
1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程;
2、能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证;
3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围;
过程和方法:
1、培养学生的探索、创新精神;
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观:
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美;
2、加深师生间的交流,增进师生的情感;
3、培养学生的协作精神。
由“倍数关系”等问题建立数学模型,并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题.
掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题.
通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决实际问题.
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价(收盘价:股票每天交易结果时的价格):
乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天的收盘价计算(不计手续费、税费等),则在他帐户上,星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元,这人持有的甲、乙股票各多少股?
老师点评分析:一般用直接设元,即问什么就设什么,即设这人持有的甲、乙股票各x、y张,由于从表中知道每天每股的收盘价,因此,两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价,再根据已知的等量关系;星期二比星期一增加200元,星期三比星期二增加1300元,便可列出等式.
上面这道题大家都做得很好,这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型,那么还有没有利用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢?请同学们完成下面问题.
(学生活动)问题2:某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台,第一季度生产电视机的总台数是3.31万台,求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少?
老师点评分析:直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x.因为一月份是1万台,那么二月份应是(1+x)台,三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长,即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2,那么就很容易从第一季度总台数列出等式.
解:设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x,则1+(1+x)+(1+x)2=3.31
以上这一道题与我们以前所学的'一元一次、二元一次方程(组)、分式方程等为背景建立数学模型是一样的,而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型.
例1.某电脑公司20xx年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.
分析:设这个增长率为x,由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额,又由三月份的总营业额列出等量关系.
(1)某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米?
(2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为__________.
例2.某人将20xx元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.
分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存20xx元取1000元,剩下的本金和利息是1000+20xxx・80%;第二次存,本金就变为1000+20xxx・80%,其它依此类推.
则:1000+20xxx・80%+(1000+20xxx・8%)x・80%=1320
整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0
解得:x1=-2(不符,舍去),x2= =0.125=12.5%
本节课应掌握:
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型,并利用恰当方法解它.
1.教材P53 复习巩固1 综合运用1.
1.20xx年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是( ).
A.100(1+x)2=250 B.100(1+x)+100(1+x)2=250
2.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为( ).
A.(1+25%)(1+70%)a元 B.70%(1+25%)a元
C.(1+25%)(1-70%)a元 D.(1+25%+70%)a元
3.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为( ).
1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_______kg,第三年的产量为_______,三年总产量为_______.
2.某糖厂20xx年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计20xx年的产量将是________.
3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在涨价30%后,20xx年降价70%至a元,则这种药品在年涨价前价格是__________.
1.为了响应国家“退耕还林”,改变我省水土流失的严重现状,20xx年我省某地退耕还林1600亩,计划到20xx年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量.
3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营.
(1)如果第一年的年获利率为p,那么第一年年终的总资金是多少万元?(用代数式来表示)(注:年获利率= ×100%)
(2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.
二、1.6(1+x) 6(1+x)2 6+6(1+x)+6(1+x)2
3.
三、1.平均增长率为x,则1600(1+x)2=1936,x=10%
即16x2+56x-15=0,解得x= =25%,y=20(台)
(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10。
一、教学目标
【知识与技能】
理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程,能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程。
【过程与方法】
经历探究求根公式的过程,发展合情推理能力,提高运算能力并养成良好的运算习惯。
【情感、态度与价值观】
通过公式法解一元二次方程,感受解法的多样性,在学习活动中获取成功的体验。
二、教学重难点
【教学重点】
用公式法解一元二次方程。
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导。
三、教学过程
(一)引入新课
复习回顾:用配方法解一元二次方程。
配方,得
(四)小结作业
小结:引导学生做知识总结:本节课学习了什么叫公式法,怎样运用公式法解一元二次方程。如何判断一个方程是否有实数根?
作业:课后练习题,试着用多种方法解答。
四、板书设计
略
一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中数学中占有重要地位,其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性,它是一元一次方程应用的继续,又是二次函数学习的基础,它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛,在几何、物理及其它学科中都有应用,因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情,能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐,本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题,而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历,收集信息处理信息的能力较弱,这就构成了本节课的难点。
(二)数学新课程标准要求:
人人学有价值的数学,人人都获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点,确定了如下教学目标的:
1、知识与技能:能根据问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。以一元二次方程解决实际问题为载体,加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法:经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度与价值观:通过用一元二次解决实际问题,体会数学知识应用的价值,了解数学对促进社会进步和发展的作用。激发学生学习数学的兴趣,体会做数学的快乐,培养用数学的意识。
从试题结构看,共分三个大题,包括填空题、选择题、解答题,相对来说试题比较简单。从学生的答卷来看,存在以下问题:
一、学生计算能力总体差.
如:最后计算题解一元二次方程时出错和一大题的一半出错.
二、基础知识掌握不扎实如:
填空题7题和10题,学生对一元二次方程和一元一次方程的条件理解不透彻
三、基本的概念定理不清楚
如:选择题14和15题有关角平分线和垂直平分线定理的考查好多学生出错.15题是有关一元二次方程和一元一次方程和整式方程,分式方程的考查,包括有优生都出错.
对于95%的学生证明步骤依然是他们的弱点,是初三阶段的训练目标.
针对上述问题,今后需采取以下措施:落实基础,提高学生的计算能力,加强审题能力的培养,规范学生的书写及解题格式的规范程度,针对我们班及格人数和其他班有差距,需要加强及格边缘学生的个别关注,尤其充分利用辅导课的时机有针对性的辅导.对不同的学生给以不同的关注,使每个学生都能克服其缺点以提高学习成绩.
1.了解一元二次方程及有关概念,一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单题目。
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程,掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法,应用熟练掌握以上知识解决问题。
1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定一个数是否是方程的根;
3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,领会降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.
1.一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3.用公式法解一元二次方程时的讨论。
4.通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型,方程解与实际问题解的区别。
6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
(2)且未知数次数次数是2;
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。
3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
在学习过程中,即要争取教师的指导和帮助,但是又不能过分依赖教师, 必须自己主动地去学习、去探索、去获取,应该在自己认真学习和研究的基础上去寻求教师和同学的帮助。
在学习过程中,对课本的内容要认真研究,提出疑问,追本究源。对每一个概念、公式、定理都要弄清其来龙去脉、前因后果、内在联系,以及蕴含于推导过程中的数学思想和方法。在解决问题时,要尽量采用不同的途径和方法,要克服那种死守书本、机械呆板、不知变通的学习方法。
在学习过程中,要准确地掌握抽象概念的本质含义,了解从实际模型中抽象为理论的演变过程。对所学理论知识,要在更大范围内寻求它的具体实例,使之具体化,尽量将所学的理论知识和思维方法应用于实践。
课本是获得知识的主要来源,但不是唯一的来源。在学习过程中,除了认真研究课本以外,还要阅读有关的课外资料,来扩大知识领域。同时在广泛阅读的基础上,进行认真研究,掌握其知识结构。
模仿是数学学习中不可缺少的学习方法,但是决不能机械地模仿,应该在消化理解的基础上,开动脑筋,提出自己的见解和看法,而不拘泥于已有的框框,不囿于现成的模式。
课堂上学习的内容,必须当天消化,要先复习,后做练习,复习工作必须经常进行,每一单元结束后,应将所学知识进行概括整理,使之系统化、深刻化。
学习中的总结和评价有利于知识体系的建立、解题规律的掌握、学习方法与态度的调整和评判能力的提高。在学习过程中,应注意总结听课、阅读和解题中的收获和体会。
做数学题就是要注重计算,很多孩子成绩丢分在计算上,解题步骤没有错,但是计算的过程中出现失误,导致丢分,影响整体成绩,所以要重视计算的作用,初一阶段刚开学就会学到有理数,绝对值,倒数,相反数,一元一次方程,单项式和多项式等基本的计算问题,每一个知识点都脱离不了计算的考察。整式,方程,不等式等后续重要知识点都基于有理数的计算。后续的分式计算更凸显了孩子的计算问题。所以要想提高数学成绩,一定要重视计算。
我们在考试以后会发现有很多不应该做错的题,因为大意失了分数,所以要想提高数学成绩,一定要注意细节,在考试的过程中不该丢的不能丢,分分计较,做到颗粒归仓。解题时即使思路正确,不注意细节也能丢分。考试分分比较,每一分都代表了一个人的素质和水平。这就是细节决定成败。
要想提高数学成绩,在做数学题的过程中要善于发现规律。不要总是硬套公式,可以尝试一下思维的转换,这样可能给自己带了不一样的转机,其实数学和其他的科目是一样,就比如语文一样的话,可以用其他的话代替,但是意思并没有转变,数学的公式也是一样,最终的答案是一个,不过你可以用其他的方法进行解答,所以善于发现数学的解题规律,转变思路也是提高数学成绩的一条有效途径。
要想提高数学成绩,在考试前一定要有高水平高效率的复习。一道题,刚开始你不熟悉,那么,你需要做十遍甚至更多遍,把整个题目做到滚瓜烂熟。这个时候,如果你还在不断地重复做这道题,那么就是低水平重复,高手们会当这道题熟悉了,他就开始放弃了,把大把时间拿来,去攻克自己不熟悉的题目,不断地把陌生转化为熟悉。他们也在重复,但是,是高水平重复。
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题.
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题.
1.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢?
2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么?
3.梯形的面积公式是什么?
4.菱形的面积公式是什么?
5.平行四边形的面积公式是什么?
现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的'上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模.
∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m.
答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得:中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.
(1)当b2-4ac> 0时,_______________________
(2)当b2-4ac= 0时,_________________________
(3)当b2-4ac< 0时,________________________
(三)应用新知:
1、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。
(1)x2-x-6=0 b2-4ac=______ x1=_____ x2=_____
(2)x2-2x=1 b2-4ac=______ x1=_____ x2=_____
(3)x2-2x+2=0 b2-4ac=______ x1=_____ x2=_____
2、根据根的情况,求字母系数的取值范围。
例1:当m取什么值时,关于x的一元二次方程,2x2-(m+2)+2m=0有两个相等的实数根?并求出方程的根。
(1)读题分析:
A、二次项系数是什么? a=_______
B、一次项系数是什么? b=_______
C、常数项是什么? c=_______
例2:说明不论m取什么值时,关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m2,不论m取代的值都有几个不相等的实根。
已知关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式是9,求m的值及方程的根。
(五)小结:把_________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,并会用它们解决一些实际问题。
1、把例1、例2整理在作业本上。
2、有余力的同学把练习题整理在作业本。
四、教学后记:
教学内容:
本节内容是:
人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册
第22章第2节第1课时。
一、教学目标
(一)知识目标
1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
(二)能力目标
1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
(三)情感态度及价值观
通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点
配方法解一元二次方程的一般步骤
三、教学难点
具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点
运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程
(一)复习引入
1、复习:
解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1。
2、引入:
二次根式的意义:若x2=a (a为非负数),则x叫做a的平方根,即x=±√a 。实际上,x2 =a(a为非负数)就是关于x的一元二次方程,求x的平方根就是解一元二次方程。
(二)新课探究
通过实际问题的解答,引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注
意力,引发学生思考。
问题1:
一桶某种油漆可刷的面积为1500d㎡李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来,
具体解题步骤:2解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6xd㎡
列出方程:60x2=1500
x2=25
x=±5
因为x为棱长不能为负值,所以x=5
即:正方体的棱长为5dm。
1、用直接开平方法解一元二次方程
(1)定义:运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。
(2)备注:用直接开平方法解一元二次方程,实质是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2:
要使一块矩形场地的长比宽多6cm,并且面积为16㎡,场地的长和宽应各为多少?
问题2重在引出用配方法解一元二次方程。而问题2应该大部分同学都不会,所以由我来具体的讲解。主要通过与完全平方式对比逐步解这个方程。再由这个方程的求解过程师生共同总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。让学生加深映像。
具体解题步骤:
解:设场地宽x m,长(x +6)m。
列方程: x(x +6)=16
即: x2+6x-16=0
x2+6x=16
x2+6x+9=16+9
(1)有实根(2)有两正根(3)一正一负
重阳节祝福句子 10-28
快乐心态句子 10-28
爱情人生哲理句子 10-28
高一元旦作文 11-01
唯美伤感句子 10-28
三八妇女节句子 10-28
家里元宵节说说 10-28