小编为您准备了一份涵盖多个方面的“不等式解法教案”范文，希望本文能够引领您走向正确的方向。对于新入职的老师而言，教案课件还是很重要的，因此教案课件不是随便写写就可以的。 教师们必须完善教案课件，以确保课堂内容更加生动。此外，关于范文大全，您还可以浏览最新宪法宣传活动总结7篇。
不等式解法教案 篇1
公开课教案
课题:一元二次不等式及其解法 授课时间: 年月日(星期第节授课班级: 执教者: 指导教师:项目内容
一、学习目标1.会通过函数图像知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;2.会解一元二次不等式;
二、重点与难点重点:解一元二次不等式;难点:对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解。
三、教学过程教学导航与学生平台 设计意 图
(一板书课题(二出示目标(三自学指导
(四先学(一板书课题:一元二次不等式及其解法(二通过投影揭示本节课的学习目标以及学习重难点。(三自学指导(四先学
自学课本76-77页内容,并完成自学指导。1.一元二次不等式的定义
一般地,只含有,并且未知数的最高次数是的整式不等式,叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集的定义
一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。
3.一元二次不等式的一般形式: 20 ax bx c ++>(0 a>或20 ax bx c ++ 4.探究一元二次不等式2760 x x-+>的解集
(1一元二次方程2760 x x
-+=的根与二次函数276 y x x =-+的零点的关系: ①求解方程2760 x x-+=的根 ②画出函数276 y x x =-+的图像并求出该函数的零点
结论:一元二次方程的 就是所对应的一元二次函数的。当x 取 时,y>0? 当x 取 时,y 的解集为;不等式2760x x-+ 0?= 0?
当x 取 时,y=0?(2
=++(0a >的图像 20 ax bx c ++=(0a >的根 没有实数根 20 ax bx c ++>(0a >的解集 2 ax bx c ++的解集 20 ax bx c ++≥(0a >的解集 20 ax bx c ++≤(0a >的解集 思考:对于一元二次不等式
20ax bx c ++>(0a ≠或20ax bx c ++
二算:算△及对应方程的根。
三写:由对应方程的根,结合不等号的方向,根据函数图象写出不等式的解集。
自学检测: 解不等式:(12x 2-3x-2>0;(2-x 2+3x-2>0;(34x 2-4x+1≤0;(4x 2-2x+2>0.(五后教
1.帮助学生解决自学过程中存在的问题,以及本节的重、难点及注意事项.2.更正当堂检测存在的问题(先由学生检查更正,更正时用红色粉笔把认为错误的部分用斜线画掉,在旁边更正,保留原有答案,最后师再针对存在的问题进行讲解
过渡:下面我们一起看板演的内容。3.新知延伸 解下列不等式 1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解集的定义 3.一元二次不等式的一般形式: 20ax bx c ++>(0a >或20ax bx c ++ 4.解一元二次不等式的一般步骤 课后作业: 课本p80 练习1.（1、（2、（3、(5 课时训练16(五后教（六、课堂总结（七、作业布置
四、板书设计
1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解集的定义 3.一元二次不等式的一般形式: 20 ax bx c ++>(0 a>或20 ax bx c ++ 4.解一元二次不等式的一般步骤
五、教后记（教学反思）
不等式解法教案 篇2
一元二次不等式及其解法教学反思
塘沽中专-----戚卫民
我在13级电子班教室上了一节课，由此我进行了深刻的反思:
我教的是一个普通中专的班，学生基础比较差。因此，第一，课前组织很重要，给 学生 做思想 工 作，这 节 课很重要，是大家表现 自己 的好机会，同 学 们应该遵守纪律，积极发言，展示 自己 班良好的素质和班风。这样学生激情会高一些，自然课堂也会活跃一些。第二，把握本节课的难点，课前做好铺垫。一元二次不等式及其解法看上去好像很简单，但是它需要同学们有很好的基础，解一元二次方程的基础。而学生在初中只是熟悉用求根公式解方程，对于十字相乘法分解因式只有极个别会，对于这种情形我在课前把一元二次方程的解法好好的补了一下。还有二次函数的图象画法，也好好的复习一下，加深巩固，突破难点，使得这节课能顺利进行下去。
尽管这样我的课堂效果也不是很好，这是为什么呢？我陷入迷茫之中可能是我的学生不适应教学方式？可能是学生紧张？弄错？后来想想可能我没有好好地备学生。我觉得这节课的教案应该这样设计，可能会更好：课前引入去掉，应该在复习时让学生解一元二次方程，画二次函数图象，这样学生容易进入状态。然后直接导入新课，有特殊到 一般，由具体到抽象，逐步揭开解一元二次不等式的方法。给出例题应由浅入深，先给出形如这样的:(x-2)（x-3）
让他们好求方程的根，从而画图求不等式的解集，为后续例题做铺垫。作为教师我应该很规范的板书。以给学生榜样。然后给出形如这样的不等式：x2+3x-4≥0 由上道题的启示他们自然会去验证Δ，用十字相乘法求一元二次方程x2+3x-4=0 的根，画函数的图像，从而求出解集。从这两道题让他们自己归纳一下解一元二次不等式的步骤，再出课本习题，这样他们一定可以解出来，此种做法可以提高他们的解兴趣，把课堂气氛变得浓烈一些。接着给出-x2-3x+4>0提醒他们要把二项式系数变为正数。用课本课后题做练习。再给出x2-3x+4>0这种Δ0Δ=0的情形。根据二次函数的图像学生应该可以解决。
一节课究竟要解决什么问题，怎样解决这是课堂的首要。贴近学生实际，层层深入，各个击破，帮学生排忧解难，同时发挥他们的主观能动性，让学感受到自己是课堂的主人，这是教师课堂的主旨。还有一点非常重要，老师必须要有很强的亲和力。其实亲和力的前提是要有爱心，有爱才会亲。一个孩子在班上是六十分之一，但在一个家庭是百分百，所以我觉得我们应该向爱我们自己的孩子一样去爱他们，让学生感受到我们的关怀，怎样做到爱学生，我觉得自己以后可这样努力 :记住每一个学生的名字，在路上和他们打招呼，下课和他们谈谈心，说笑说笑，不 要说一些伤学生人 格的话语，适当鼓励他们，人心都是肉长的呀，他们会感觉得到的。成绩差的学生其实是非常敏感的，也是很容易叛逆的，在任何时候老师都要想到自己是成年人，是长者，要站在一定的高度考虑我们的学生，设身处地为他们想象。这样就不会有芥蒂，冲突，代沟。这节课我比较真实展现我的学生和我自己。无论从哪一方面，业务能力，管理能力，对学生的掌控能力，课堂的把握能力。我都有待学习提高。我会努力的！
不等式解法教案 篇3
各位评委、各位老师：
大家好！
我叫，来自。今天我说课的课题是《一元二次不等式的解法》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材内容分析、教法学法分析、教学过程分析和课堂意外预案等几个方面逐一加以分析和说明。
一、教材内容分析：
1、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标。第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
3、教学重点、难点确定。
本节课是在复习了一次不等式的解法之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可。因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。
二、教法学法分析：
数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了①创设情景——引入新课，②交流探究——发现规律，③启发引导——形成结论，④练习小结——深化巩固，⑤思维拓展——提高能力，五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。
不等式解法教案 篇4
一元一次不等式及解法教学设计
教学目标
1．知识与技能：掌握一元一次不等式的相关概念及其解法,能熟练的解一元一次不等式。
2．过程与方法：学生亲身经历探究一元一次不等式及其解法的过程，学生通过动手、发现、分类、比较等方法的学习，培养学生归纳总结知识的能力
3．情感态度与价值观：在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣
教学重点:掌握解一元一次不等式的步骤．
教学难点:必须切实注意遇到要在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向.教学过程
一、问题导入，提出目标
1导入:请同学们思考两个问题：（1）不等式的基本性质有哪些？（2）什么是一元一次方程？如何解一元一次方程？
学生动手解一元一次方程：1－2x =x + 3并说出解一元一次方程的步骤。
2、投影出示学习目标，检验学生预习
（1）能说出一元一次不等式的定义。（2）会解答一元一次不等式。
二、学生自学，小组合作，激情展示。
（一）、请同学们进行自学书137—139页，自学后完成下列问题。并在学习小组内讨论。
1、观察下列不等式，说一说这些不等式有哪些共同特点？
（1）≥12（2）x≤（3）x＜4（4）5-3x＞14 什么叫做一元一次不等式。
2、自己举出2或3个一元一次不等式的例子，小组交流。
3、解一元一次不等式 3－x ＜ 2x + 6
4、思考：一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有什么不同？
5、解一元一次不等式的依据和解一元一次不等式的步骤。
（二）、学生展示以上问题（小组pk的形式）
（三）、做一做（学生先独立完成，再请学生展示，师生评价。）
1、解下列不等式
（1）4（x－1）+2> 3(x+2)－x（2）（x－2）/ 2≥（7－x）/ 3
2、求下列不等式的正整数解：zFw152.cOm
（1）－4 ＞－12；（2）3 －9≤0．、某数的一半大于它的相反数的 加1，求这个数的范围。
三、当堂训练，达标检测
（一）巩固练习题目
1、判断下列不等式是不是一元一次不等式，为什么？
（1）1/x+3x–1(4)x（x–1）
2、解下列不等式。（1）3x+8
（二）达标检测题目
解下列不等式
（1）2（1+3x）>20–3x（2）(x–3)/7≥x–6（3）x取何值时，代数式(x+4)/3的值比(3x –1)/2的值大？
四、小结
回顾本节课所学内容的基础上，教师应提醒学生注意以下两点： 1．解一元一次不等式的步骤
2．在不等式两边都乘以(或除以)同一负数时，必须改变不等号的方向.五、作业 142页A组第一题
不等式解法教案 篇5
1.复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
[师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?
学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。
[师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。首先请同学们画出 y=2x-7
[师]请同学们画出图象,并回答问题。
一次函数y=2x-7的图象如下:
填表:
当x 时,y = 0,即 2x-7 0;
当x 时,y
当x 时,y > 0,即 2x-7 0;
注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)
(2)由学生填空(一边演示y0部分图象)
从上例的特殊情形,你能得出什么结论?
注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b
2.新课导入
[师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?
不等式解法教案 篇6
1、一元二次不等式解法的探索
[师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下:
填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是
不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是
不等式x2-4x+3
注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。(边说边画y>0,y
[师]现在如果我变动这条抛物线,请大家观察抛物线与x轴的交点有何变化?
注:引导学生发现一元二次方程的根有三种情况,其对应的二次函数图象与x轴的位置关系也有三种情况,是由 >0, =0,
2、讲解例题
[师]接下来请同学们再来分析几个具体例子
(板书)例:解下列各不等式
(1)2x2-3x-2>0;
(2) -3x2+6x>2;
(3)4x2-4x+1>0;
(4)-x2+2x-3>0.
注:跟学生共同详细分析(1),强调解题规范性,其余(2)(3)(4)由学生完成,并小组讨论。
解:(1)方程2x2-3x-2=0的两根为x1=- 或 x2=2,(画草图,结合图象)
所以原不等式的解集是{x| x2 }
注:问题要顺利求解,应先考虑对应方程
的根的情况,然后画出草图,结合不等式写出解集。
(以下学生试着解决,并回答)
(2)分析一:结合开口向下的抛物线求解。
分析二:引导学生能否转化为熟知类型,与(1)中二次项系数作比较,只要不等式两边同乘以-1,并注意不等式要改变方向。
解:原不等式可变为 3x2-6x+2
方程3x2-6x+2=0的两根为 x1=1- , x2=1+
原不等式解集为: {x | 1-
(3)方程 4x2-4x+1=0有两等根 x1=x2=
所以原不等式的解集是{x |x }
变式训练:改成4x2-4x+1 0,请学生回答(使学生知道不等式的解也可能是一个值)。
(4)将原不等式变形为:x2-2x+3
方程x2-2x+3=0无实根
原不等式的解集是
变式训练: -x2+2x-3
[师]上述几例都有各自的特点,反映在哪两方面呢?注:引导学生总结:一是二次项系数,二是判别式 ,一般要先将二次项系数转化为正数。
不等式解法教案 篇7
《一元二次不等式及其解法（第1课时）》教学设计
Eric 一 内容分析
本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。
二 学情分析
学生已经掌握了高中所学的基本初等函数的图象及其性质, 能利用函数的图象及其性质解决一些问题。学生知道不等关系, 掌握了不等式的性质, 通过这部分内容的学习, 学生将学会利用二次函数的图象, 通过数形结合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。
三 教学目标
1.知识与技能目标:（1）熟练应用二次函数图象解一元二次不等式的方法（2）了解一元二次不等式与相应函数, 方程的联系 2.过程与方法:（1）通过学生已学过的一元一次不等式为例引入一元二次不等式的有关概及解法（2）让学生观察二次函数,在此基础上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法（3）在学生寻找一元二次不等式的过中程中培养学生数形结合的数学思想 3.情感与价值目标:（1）通过新旧知识的联系获取新知，使学生体会温故而知新的道理
（2）通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。
（3）在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
四 教学重点、难点 1.重点
一元二次不等式的解法 2.难点
理解元二次方程与一元二次不等式解集的关系
五 教学方法
启发式教学法，讨论法，讲授法
六 教学过程
1.创设情景，提出问题（约10分钟）
师：在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式x – 1 > 0，现在请同学们先画出函数y = x – 1 的图象，并通过观察图象回答以下问题: 1）x 为何值时，y = 0;2）x 为何值时，y > 0;3）x 为何值时，y 0的解集能从函数y = x – 1上看出来吗？
学生画图，思考。先把问题交给学生自主探究，过一段时间，再小组交流，此间教师巡视并指导。提问学生代表。
通过对上述问题的探究，学生得出以下结论：
因为上述方程x – 1 = 0以及不等式x – 1 > 0的左边恰好是上述函数y = x3x – 2 > 0;2）4x23x – 2 = 0的解是x1 =-1/2, x2 = 2.所以2x24x + 1 = 0 的解是x1 = x2 = 1/2, 所以不等式4x22x + 3
练习：课本80页练习第1题（1）-（3）【灵活掌握】.师：今天我们这节课的内容有两个： 1）会一元二次不等式的解法 2）理解三个“二次”的关系
作业：课本第80页 习题 A
4.板书设计
§ 一元二次不等式及其解法
解不等式x2 – x – 6 > 0, 请先画出二次函数 y = x2 – x – 6的图像，并回答以下问题： 1）x 为何值时，y = 0;y > 0;y 0的解集呢？
七 教学反思
组1、2题 例，解不等式：
1）2x24x + 1 > 0;3）-x2 + 2x – 3
解：1）因为Δ =(-3)2 – 4×2×(-2)= 25 > 0, 方程的2x23x – 2 > 0的解集是｛x| x1 2｝.2)因为Δ = 0，方程4x24x + 1 > 0的解集是｛x|x ≠ 1/2｝.
不等式解法教案 篇8
新课程理念下的教学更多的关注学生自主探究、关注学生的个性发展，鼓励学生勇于提出问题，培养学生思维的批评性。在课堂上学生往往会提出让老师感到“意外”的问题，我在平时的教学中重视对“课堂意外预案”的探索和思考，备课时尽量设想课堂中可能会出现的各种情况，做到有备无患，以免在课堂中学生提出让自己出乎意料的问题，使自己陷入被动尴尬境地。结合以往经验，在本节课，我提出两个“意外预案”。
1、学生在做课本练习1（x＋2）（x－3）＞0时，可能会问到转化为不等式组{或{求解对不对。学生提出的问题，想法非常好，应给予肯定和鼓励，这与下节简单分式不等式和高次不等式的解法有关，是解不等式的另一种解法——等价转化法，不在本节课之列。
2、根据以往的经验，在解（x－1）（x＋2）＞1一类的不等式的时候，由于受方程（x＋1）（x＋2）=0可转化为x－1=0或x＋2=0求解的影响，有可能会出现将不等式转化为不等式组{来求解的错误做法，教师要关注学生，及时发现问题并给予纠正，指出上面的转化不是等价转化。
以上是我对本节课的一些粗浅的认识和构想，如有不妥之处，恳请各位专家、各位同仁批评指正。谢谢大家！
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不等式与不等式组教案十篇
我们听了一场关于“不等式与不等式组教案”的演讲让我们思考了很多。老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，所以老师写教案可不能随便对待。教案是评估学生学习效果的有效依据。经过阅读本页你的认识会更加全面！
不等式与不等式组教案(篇1)
基本不等式是高中二年级下学期数学中的一个重要概念，其涉及到绝对值的性质和不等式的推导。基本不等式在初步推导的时候可以使用几何方法来证明，而在深入的探究中，可以进一步运用数学分析方法来理解其本质和性质。本文将就基本不等式的推导、应用，以及几何与分析方法的结合进行论述。
一、基本不等式的推导
基本不等式的推导可以从几何法入手，其基本思路是通过几何图示来发现其性质。假设a,b为实数，则有如下几何图示：
(1) 若a>0，则有|b|
(2) 若a
这两个图示可以构成基本不等式的几何推导。其意义在于，不论b与a的相对大小，都存在一个固定不变的量，使得|b|不超过这个固定量。这个量可以表示为：
|b|≤|a|+|b-a|
这就是基本不等式的理解和推导，而这种推导方法也可以被进一步升华。例如，我们可以假设有n个数a1,a2,…,an，然后通过构建一个几何图示找到基本不等式的一般化形式。在图示中，假设x为原点，以及ai=ax-1+|ai-x|为定义，则有，对于任意x∈R：
|ai|≤|x-ai|+|x|，（i=1,2,…,n）
这就是基本不等式的一般表述，其本质也与前述推导方式相同，只是用了更为一般的方法来发现其性质。
二、基本不等式的分类讨论
基本不等式的分类讨论主要是针对不同性质的a和b进行讨论。例如，有如下几种情况：
(1) 当0≤b≤a，有|a-b|≤a，所以|a+b|=|a-(-b)|≥||a|-|b||≥a-b，即a+b≥2ab/a+b；
(2) 当0≤a
(3) 当a
(4) 当0
这样就可以进一步归纳基本不等式的应用和特点，可以根据题干中所给定的a和b的性质进行分类讨论，并应用基本不等式进行求解。
三、基本不等式的具体应用
基本不等式最重要的应用在于，它可以用于绝对值和一元二次不等式的求解。例如，对于绝对值不等式|ax+b|≥c，可以转化为ax+b≥c或ax+b≤-c二者之一，然后进行带入进行判别；而对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，可以根据判别式δ=b^2-4ac的大小关系进行分类讨论，从而应用基本不等式得到其解集合。
除此之外，基本不等式还可以推广到均值不等式、柯西不等式等一系列不等式中，从而具有了更广泛的应用。例如，柯西不等式可以表示为：
(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2
而这个不等式的证明也可以用到基本不等式，例如可以设xi=ai^2，yi=bi^2，则有：
(x1+x2+…+xn)(y1+y2+…+yn)≥(x1y1+x2y2+…+xnyn)
后面的不等式是柯西不等式的一般形式，而前面的不等式又可以根据基本不等式得到。因此，基本不等式可以在相关不等式的证明以及一系列数学问题中得到广泛的应用。
四、基本不等式的几何与分析结合
基本不等式的几何和分析结合也是其值得探究的地方，这可以使得基本不等式更加生动形象，也可以使得我们对其本质有更深刻的理解。例如，我们可以用基本不等式证明几何问题，例如证明在不等边三角形中，角平分线长度一定小于中位线长度，其证明方法就是运用基本不等式将边长和角平分线或中位线长度进行关联。同时，基本不等式的分析方法也很重要，例如在证明一元二次不等式时，我们需要用到分析方法来确定其正负条件。因此，基本不等式的几何和分析结合也是其应用的一个重要方向。
综上所述，基本不等式是数学中一个重要的概念，其具有广泛的应用和理解。我们可以从基本不等式的推导、分类讨论、应用以及几何与分析结合等多个方面来进行论述，从而更加深入地了解基本不等式以及其在数学中的价值。
不等式与不等式组教案(篇2)
高中数学不等式知识点总结：
1、用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2、性质：
①如果x>y，那么y②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，zy，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;⑦如果x>y>0，那么x的.n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。3、分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
不等式与不等式组教案(篇3)
在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题。本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展。另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用。本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的通过分析得出基本不等式，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念。教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助。
教学重点
1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2、从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。
教学难点
1、对基本不等式从不同角度的探索证明；
2、通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路。
教具准备 多媒体及课件
三维目标
一、知识与技能
1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；
2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；
3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。
二、过程与方法
1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。
三、情感态度与价值观
1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；
3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。
教学过程
导入新课
探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）
推进新课
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？
（沉静片刻）
生 应该先从此图案中抽象出几何图形。
师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？
（请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评）
（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）
师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。
（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）
［过程引导］
师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？
生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。
师 一定吗？
（大家齐声：不一定，有可能相等）
师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？
生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab。
师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？
生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。
师 回答得很好。
（有的同学感到迷惑不解）
师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。
（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）
师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。
师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？
生 正确。
［教师精讲］
师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。
生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。
师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。
（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）
生 作商，用商和“1”比较大小。
师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。
（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）
［合作探究］
师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。
生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。
（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）
师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。
生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。
师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。
（大家齐声）一致。
（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）
板书：
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。
［过程引导］
师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。
（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引）
师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。
生 完全可以。
师 为什么？
生 因为不等式中的a、b∈R。
师 很好，我们来看一下代替后的结果。
板书：
即 (a＞0,b＞0)。
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）
师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？
（此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式）
要证：，①
只要证a+b≥2，②
要证②，只要证：a+b-2≥0，③
要证③，只要证：④
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。
（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）
［合作探究］
老师用投影仪给出下列问题。
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）
［合作探究］
师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？
生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得。
生 由射影定理也可得。
师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？
生表示半弦长，表示半径长。
师 半径和半弦又有什么关系呢？
生 由半径大于半弦可得。
师 这位同学回答得是否很严密？
生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。
课堂小结
师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab。
生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。
生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。
（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）
师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。
布置作业
活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论。
分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。
（方法二）创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。
板书设计
基本不等式的证明
一、实际情景引入得到重要不等式
a2＋b2≥2ab
二、定理
若a＞0，b＞0
课后作业：
证明过程探索：
不等式与不等式组教案(篇4)
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动2]
问题1.(幻灯片展示)
①判断下列数中哪些满足不等式2x/3>50:
76、73、79、80、74.9、75.1、90、60
②满足不等式的未知数的值还有吗?若有,还有多少?请举出2—3例。
③.上问中的不等式的解有什么共同特点?若有,怎么表示?
④.②中答案在数轴上怎么表示?
⑤.通过前面的学习,你对求不等式解集有什么方法?
问题2:(幻灯片展示)直接想出不等式的解集,并在数轴上表示出来:⑴x+3>6⑵2x0
教师出示问题,学生独立思考并解答。
教师引导学生共同评价,得出答案。教师在①②问完成后,类比方程,给出不等式的解的概念:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
在②问完成后,强调不等式与方程的区别:不等式的解不止一个。
本次活动教师应重点关注:学生是否积极尝试探究?在探究②问时,是否按“观察特点——猜想结论——验证猜想”的思路展开,避免盲目性。
③问教师根据学生思考情况,作适当地引导、讲解,找出特点并表示,教学时可先用举例法,再用性质描述法,最后再给出不等式解集定义:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
④问教师引导学生完成。
⑤问可先让学生先行讨论,教师深入小组,仔细倾听学生意见,参与学生讨论,最后师生共同探究。
本次活动教师应重点关注:
⑴学生讨论是否有时效性、针对性。
⑵学生是否积极展示自己想法,叙述是否有条理,语言是否准确。
⑶学生是否能熟练用数轴表示解集。
通过简单代值运算,使每名学生都动起来,边代、边算、边答、边交流,调动学生的学习兴趣,为每位学生都创造在数学活动中获取成功的体验机会,并培养学生观察能力和数感。
本环节主要任务是突出重点和突破难点。通过对学生已有的数学知识进行拓展延伸,解释不等式的解,然后递进到不等式的解集,最后发展到解集的两种表述方法,这样设计活动,符合知识发生发展形成过程。
虽然解不等式不是本节课教学目标,但问题1的第⑤问设计意图是想在一元一次方程的解与同它对应的一元一次不等式的解之间建立一种联系,这样设计充分发挥学习心理学中正向迁移的作用,借助已有的方程知识,可以为学习不等式提供一条学习之路。
[活动3]
1、让学生找出下列不等式的特点:
x1.4
2x>150x+3>6
2x0
辨析:
下列哪些不等式是一元一次不等式
①x+2y>1②x2+2>3
③2/x>1④x/2+1
学生总结不等式特点,教师再让学生类比一元一次方程命名,得到一元一次不等式概念。
含有一个未知数、未知数次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
通过探索一元一次不等式的概念,让学生体会类比思想。
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动4]
1、让学生找出易拉罐中不等式关系,并表示出来。
2、某班同学经调查发现,1个易拉罐瓶可卖0.1元,1名山区贫困生一年生活费用大约是500元。该班同学今年计划资助两名山区贫困生一年生活费用,他们已集资了450元,不足部分准备靠回收易拉罐所得。那么他们一年至少要回收多少个易拉罐?
学生独立探索,互动交流。
教师对问题2可采取灵活处理的方式,可让学生合作完成、分段完成。
通过对学生熟悉的生活背景进行处理,让学生体会数学生活化,能将实际问题转化为数学问题加以解决,培养学生应用意识。
[活动5]
问题:你对本节知识内容有何认识?
布置作业:P140.T2
学生独立思考、自我反思与小组合作交流、互相提问相结合,教师适时点拔总结。
本次活动中教师应重点关注:⑴不同学生总结知识程度;⑵小组合作情况;⑶学生梳理知识能力。
学生课后完成,教师批改总结。
教师应关注:
⑴不同层次的学生对知识的理解掌握程度并系统分析。
⑵对反馈的
不等式与不等式组教案(篇5)
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正确表示不等式的解集。
通过类比等式的对应知识,探索不等式的概念和解,体会不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。
1.经历把实际问题抽象为不等式的过程,能够列出不等关系式。
2.初步体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型,培养学生的建模意识。
通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索,培养学生的知识迁移能力和建模意识,加强同学之间的使用与交流。
活动一:
感知不等关系,了解不等式的概念。
通过实例,让学生认识到不等关系在生活中的存在,通过问题的解答,让学生了解不等式的概念,体会不等式是解决实际问题的有效工具。
活动二:
通过类比方程,继续探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通过解决上个环节的问题,得出不等式的解,再引导学生观察解的特点,探索出解集的两种表示方法(符号表示、数轴表示),并且培养学生用估算方法求解集的技能。
活动三:
继续探索,归纳出一元一次不等式的意义。
针对所学的不等式,让学生归纳出特点,得到一元一次不等式的概念,并对概念进行辨析。
运用本节所学的知识,解决实际问题,使学生经历将实际问题转化为数学问题,再加以解决的过程,实现对所学知识的巩固和深化。
让学生通过自我反思和互相质疑提问,归纳总结本节课的主要内容,交流在概念、解及解集学习中的心得和体会,不断积累数学活动经验,教师应主动参与学生小结中,作好引导工作,布置好作业,并作及时反馈。
小强准备随父母乘车去武当山春游。
⑴在车上看到儿童买票所需的测身高标识线。
①x满足______时,他可免票。
②x满足______时,他该买全票。
⑵已知襄樊与武当山的距离为150千米,他们上午10点钟从襄樊出发,汽车匀速行驶。
①若该车计划中午12点准时到达武当山,车速应满足什么条件?
②若该车实际上在中午12点之前已到达武当山,车速应满足什么条件?
用不等式表示:
⑴a是正数;⑵a是负数;⑶a与5的和小于7;⑷a与2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
学生回答①这两个由实际生活情境设置的问题,应非常容易.问题②相对①难度加大了,难在题意中的条件不象上面那样直接明了,并且可从距离和时间两个角度来分析、解决问题,而七年级学生恰恰缺乏阅读分析题意、多维度思考解决问题的能力,所以采用小组讨论交流的形式解决问题②
学生讨论角度估计大都集中在距离这一角度,教师可深入小组讨论中,认真听听同学们的思路,应鼓励学生多发表意见,并适当点拨,直到得出两种不等式。
此次活动中,教师应重点关注:讨论要有足够的时间和空间,学生在小组讨论交流时,是否敢于发表自己的想法。
再给出不等式概念:
像前面式子一样用“>”或“
教师可要求学生举出一些表示大小的式子,学生举出的不等式中,可能会有一些不含未知数的,如5>3等。教师此时应总结:不等式中可含有未知数,也可不含未知数。
教师根据学生举例给出表示不等关系的第三种符号“≠”,并强调:像前面式子一样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
巩固练习是让学生用不等式来刻画题中6个简单的不等关系。学生得出答案并不难,所以该环节让学生独立完成、互相评价,教师可深入到学生的解题过程中,观察指导学生的解题思路,倾听学生的评价。
问题1在课本中起导入新课作用,考虑学生实际情况(分析应用题能力尚欠缺)和题目难度,所以设置问题串,降低难度。这样编排教材我认为更能体现知识呈现的序列性,从易到难,让学生“列不等式”能力实现螺旋上升。
问题3作用仅仅起巩固上面所学的知识,所以采用书中的一组习题,让学生独立完成,进一步培养学生列不等式能力。
采用学生熟悉的生活情境作为导入内容,然后层层推进,步步设问,环环相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中应注意的地方。这样实现了:让学生从已有的数学经验出发,从生活中建构数学模型,为后面利用“不等式”这一模型解决生活中实际问题作好铺垫,体现了数学生活化、生活
不等式与不等式组教案(篇6)
1．理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；
2．掌握两个实数比较大小的一般方法；
3．通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；
4．提高本节内容的学习，；培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；
本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。
在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的五个定理和三个推论；难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发， 与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.
教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的．从这几个性质的分类来说，可以分为三类：
（Ⅱ）一个不等式的性质：
本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力．为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础．
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．（即：解疑）．主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑．
教学过程可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理．采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题．
1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；
2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点A表示实数 ，点B表示实数 ,点A在点B右边，那么 .
我们再看右图， 表示 减去 所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：
若 ，则 是正数；逆命题也正确.
类似地，若，则 是负数；若 ，则 .它们的逆命题都正确.
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.
比较两个实数 与 的大小，归结为判断它们的差 的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.
接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
例1 比较 与 的大小.
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
例2 已知,比较（ 与 的大小.
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
请同学们想一想，在例2中，如果没有 这个条件，那么比较的结果如何？
为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习.
1．比较 的大小.
2．如果 ，比较 的大小.
3．已知,比较 与 的大小.
要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目.
通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则， 掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
……
不等式与不等式组教案(篇7)
不等式的性质 教学设计
十六中 尚进军
【教学重点与难点】
教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3 教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形 【教学目标】
1、探索并掌握不等式的基本性质
2、会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】
通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．
【教学过程】
一、创设情境 复习引入
（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）问题：
1、什么是等式？等式的基本性质是什么?
2、什么是不等式?
3、用“＞”或“＜”填空．（1）3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3＋a 7＋a
2÷(-2)3÷(-2)（教学说明： 复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.）
二、师生互动，探索新知
1、不等式的基本性质
问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质
先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质.观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1： 不等式基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关?由学生概括总结，教师补充完善得出： 不等式基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
问题2：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论． 教师 强调指出：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．
问题3：尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质． 学生思考出答案，教师订正，最后得出：(1)如果a>b，那么a±c>b±c(2)如果a>b，c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b，ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上7，不等号的方向不变． 得 x-7＋7>26 ＋>33（2）根据不等式基本性质1，两边都减去2x，不等号的方向不变，得3x-2x75，不等号的方向不变，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4，不等号的方向改变，得x(教学说明：这些不等式比较简单，可以利用不等式的性质直接求解，从而加深对这些性质的认识.教师板书（1）题解题过程．（2）（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定三个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，有助于加强知识之间的前后联系，突出新知识的特点，并将原题与“x>a” 或“xc, a＋c>b, b＋c>a 我们现在求的是两边之差与第三边的关系，所以由不等式的性质1将上式变形为： 由a ＋b>c得a>c-b, b>c-a.同理，由a＋c>b, b＋c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.这就是说，三角形中任意两边之差小于第三边.(教学说明：此问题应用不等式的性质由“三角形的任意两边之和大于第三边”得出“三角形中任意两边之差小于第三边”这个与已有结论等价的新结论.“三角形的任意两边之和大于第三边”对应的是三个形式一样的不等式，而不是一个不等式.由这三个不等式再推出“三角形中任意两边之差小于第三边”.为了加深学生的感性认识，可以通过测量的方法验证这个结论.)三、巩固训练，熟练技能：1、如果a>b，那么(1)a-3 b-3，(2)2a 2b(3)-3a-3b，(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各题横线上填入不等号，并说明是根据不等式的哪一条基本性质．（1）若a–3＜9，则a_____12；（2）若-a＜10，则a_____–10；（3）若a＞–1，则a_____–4；（4）若-a＞0，则a_____0．3、利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集（解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为“x＞a”或“x＜a”的形式）(1)x-1＜0；(2)x＞-x＋6；(3)3x＞7；(4)-x＜-3.(教学说明：这些练习进一步加深了学生对不等式性质的理解，做此练习题时，应让学生注意观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．做第3题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，让学生认识到应用不等式的性质1变形，相当于移项.)四、总结反思，课堂小结1、不等式的基本性质是什么?如何用数学式子表示?2、在本节课的学习中，你还有什么疑惑? 3．主要用到的思想方法是类比思想.4．注意的问题: 当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，若是负数，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．六、布置课后作业：1、课本127页练习2、课本128习题的5、6、7题 【评价与反思】通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，引导学生用数学式子表示三条基本性质，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质进行比较，以加深学生的理解.在教学过程中，注重培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．同时培养了学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．
不等式与不等式组教案(篇8)
基本不等式是初中数学中的一个重要知识点，也是高中数学的基础。通过学习基本不等式，不仅可以帮助我们更加深入地理解不等式的性质，而且可以提高我们解决实际问题的能力。下面就让我们一起来探讨一下关于基本不等式的相关主题吧。
一、基本不等式的定义及应用
基本不等式是数学中常见的一种不等式形式，其具体定义为：对于正整数n和任意实数a1，a2，......，an，有下列不等式成立。
（a1+a2+......+an）/n ≥√（a1×a2×......×an）
基本不等式的应用非常广泛，涵盖了数学、物理、工程等多个领域。例如，在散装粉尘瓶装问题中，如果散装粉尘数量恒定，而瓶装数量不同，那么最节省费用的方案就是让每个瓶子装入等量的粉尘，即每个瓶子所用的费用最省。
基本不等式在数学中的应用也很广泛，例如，在证明一个三角形的角度之和等于180度的问题时，就可以使用基本不等式。
二、基本不等式的证明方法
基本不等式的证明方法有多种，下面就介绍其中较为常见的两种方法。
1. 通过平均数和平均数的平方差证明
将左右两边分别设为（a1+a2+......+an）/n和√（a1×a2×......×an），设它们的算数平均数为A，几何平均数为G，即
A=（a1+a2+......+an）/n
G=√（a1×a2×......×an）
那么，可以得出以下结论：
四倍平均数的平方比四倍几何平均数的平方不小于1，即
4A²≥4nG²
化简得（A-G）²≥0
而（A-G）²≥0 是显然成立的，因此基本不等式得证。
2. 通过对数和的差证明
对（a1+a2+......+an）/n 和√（a1×a2×......×an）取对数，得到
ln（（a1+a2+......+an）/n）和
0.5ln（a1×a2×......×an）
令b1，b2，......，bn 为Ln（a1），ln（a2），......，ln（an）
则上式变为（b1+b2+......+bn）/n 和 0.5（b1+b2+......+bn）
那么，可以得出以下结论：
平方并减去平方和的差的一半，恒大于或等于0，即
n（e^b1+e^b2+......+e^bn）≥(e^b1×e^b2×......×e^bn）⁰·⁵
简化得：（a1+a2+......+an）/n ≥√（a1×a2×......×an）
因此，基本不等式得证。
三、基本不等式的推论
基本不等式在解决实际问题时非常有用，不仅可以帮助我们更好地理解不等式的性质，还可以推导出一些有用的结论。
1. 美国数学家霍尔德(K.O.Holder)在1889年提出了一个推论，称为Holder不等式，它的思想是：如果一个积分或求和中的各项乘方幂次之和相等，那么乘积的值最大时，每个变量的值相对都相等，即
a^p1×b^p2×......×z^pz ≤p1a1+p2b2+......+pnzn
其中p1，p2，......，pn均为正数。
2. 在证明柯西定理时，我们可以推导出柯西-施瓦茨不等式，即
（∑ai²）（∑bi²）≥（∑aibi）²
3. 可以证明，任何一个n次实系数多项式都可以表示为n个线性因式的积，其中每个线性因式都可以表示为两个实系数一次多项式（例如：x-a）的乘积。
以上就是关于基本不等式的相关主题的详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一数学知识点。
不等式与不等式组教案(篇9)
八年级数学《不等关系》教案 北师大版
教学目的和要求：
理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点：
重点： 对不等式概念的理解
难点：怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1.如图1-1，用用根长度均为l㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
2（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝，那么绳长l应满足怎样的关系式？
2（2）如果要使圆的面积大于100㎝，那么绳长l应满足怎样的关系式？（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）改变l的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？
分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为()，圆的面积可以表示
l42?l?为???。
2???（1）要使正方形的面积不大于25㎝，就是
22l2l2()?25，即?25。416（2）要使圆的面积大于100㎝，就是
?l????＞100，?2??l2即 ＞100
4??4(cm)，圆的面积为?(cm2)，（3）当l=8时，正方形的面积为
4?164＜，此时圆的面积大。
?9(cm)，圆的面积为?(cm2)，当l=12时，正方形的面积为164? 9＜，此时还是圆的面积大。
（4）不论怎样改变l的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
l2l2＞ 4?162.（1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过？（只列关系式）
（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为/s，人离开的速度为4m/s，导火线的长度x（m）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x年其树围才能超过，则5+3x＞240。
（2）人离开10m以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：10x＜ 分析巩固练习：
用不等式表示：
（1）a的相反数是正数；
（2）m与2的差小于（3）x的2； 31与4的和不是正数； 3（4）y的一半与x的2倍的和不小于3。解答：（1）a的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a＞0；
22”即是m-2＜； （3）“x的”就是x，“x的与4的和不是正数”就是x+4≤0；
（4）“y的一半”不是y,“x的2倍”就是2x，“不小于3”即指大于或等于3，故
21“y的一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x≥3。
213.下列各数：，-4，?，0，，3其中使不等式x?2＞1，成立是（）
21A．-4，?， B．?，，3 C．，0，3 D．?，
2（2）“m与2的差”就是m-2，“ 差小于答案：D 4.有理数a，b在数轴上的位置如图1-2所示，所
A?b的值（）a?b
A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．≥0
答案：B 小结提问，快速回答：
1.表示不等式关系的符号有哪些? 2.用适当的符号表示下列关系:（1）x的5倍与3的差比x的4倍大；（2）a的1的相反数是非负数； 4（3）x的3倍不小于y的8倍。
3.下列不等式中，总能成立的是（）
A．a2＞0 B．?a2?0 C作业要求：作业本
．2a＞a
D．a2＞a 3
不等式与不等式组教案(篇10)
《均值不等式》说课稿
山东陵县一中 燕继龙李国星
尊敬的各位评委、老师们：
大家好！我今天说课的题目是 《均值不等式》，下面我从教材分析，教学目标，教学重点、难点，教学方法，学生学法，教学过程，板书设计，效果分析八个方面说说我对这堂课的设计。
一、教材分析：
均值不等式又称基本不等式，选自普通高中课程标准实验教科书(人教B版)必修5第三章第3节内容。是不等式这一章的核心，在高中数学中有着比较重要的地位。对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等实际问题都起到工具性作用。通过本节的学习有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值值域进一步研究，起到承前启后的作用。
二、教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；
（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。
2、过程与方法：
（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；
（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；
（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；
(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。
三、教学重点和难点：
重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广泛的应用，需重点掌握，而用好均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式及其成立的条件也是教学重点。
难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出现错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。
四、教学方法：
为了达到目标、突出重点、突破难点、解决疑点，我本着以教师为主导的原则，再结合本节的实际特点，确定本节课的教学方法。
突出重点的方法：我将通过引导启发、学生展示来突出均值不等式的推导；通过多媒体展示、来突出均值不等式及其成立的条件。
突破难点的方法：我将采用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和
来突破均值不等式成立的条件这个难点。
此外还将继续采用个人和小组积分法，调动学生积极参与的热情。
五、学生学法：
在学生的学习中，注重知识与能力，过程与方法，情感态度和价值观三个方面的共同发展。充分体现学生是主体，具体如下：
1、课前预习----学会；、明确重点、解决疑点；
2、分组讨论
3、积极参与----敢于展示、大胆质疑、争相回答；
4、自主探究----学生实践，巩固提高；
六、教学过程：
采取“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，运用学案导学开展本节课的教学，首先进行
:课前预习
（一）成果反馈
1.对课前小组合作完成的现实生活中的问题：
“今有一台天平，两臂不等长，要用它称物体质量，将物体放在左、右托盘各称一次，称得的质量分别为a,b，问：能否用a,b的平均值表示物体的真实质量？若不能，这二者是什么关系？”
进行多媒体情景演示，抽小组派代表回答，从而引出均值不等式抽出两名同学上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________
ab
2。
预备定理：a2b22ab(a,bR)，仿照预备定理的证明证明均值定理 3.已知ab>0，求证：
ab
ab2，并推导出式中等号成立的条件。
与此同时，其他同学分组合作探究和均值定理有关的以下问题，教师巡视并参与讨论，适时点拨。
① 适用范围a,b________，x0,x
1x2
对吗？
② 等号成立的条件，当且仅当__________时，________=_________ ③ 语言表述：两个___数的____平均数_____它们的_______平均数 ④ 把不等式_________________又称为均值或________不等式 ⑤ 数列观点：两个正数的______中项不小于它们的_____中项
。⑥ 几何解释（见右图）：________________
⑦常见变形ab_______
________,即ab
___________。例：
4、（1）一个矩形的面积为100 m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
由此题可以得出两条重要规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有______值； 两个正数的和为常数时，它们的积有______值。
等待两名同学做完后，适时终止讨论，学生各就各位。首先针对黑板上这两道题发动学生上来捉错（用不同色粉笔），然后再由老师完善，以此加深学生对定理及应用条件的认识。其次，老师根据刚才巡视掌握的情况，结合多媒体进行有针对性的讲解（重点应强调均值定理的几何解释：半径不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的几何证明过程，使定理“形化”），进一步加深学生对定理的认识及应用能力，初步掌握用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”
第二步：课内探究
（二）精讲点拨 1.例：求函数f(x)
2xx
3x
(x0)的最大值，及此时x的值。
先和学生们一起探讨该问题的解题思路，先拆分再提出“-”号，为使用均值定理创造条件，后由学生们独立完成，教师通过巡视或提问发现问题，通过多媒体演示来解决问题，该例题主要让学生注意定理的应用条件及一些变形技巧。
2．多媒体展示辨析对错：
这几道辨析题先让学生们捉错，再由
多媒体给出答案，创设情境加深学生对用均值定理求函数最值时注意“一正、二定、三相等”的认识
（三）有效训练
1.(独立完成)下列函数的最小值为2的是()
A、yx
1x
B、ysinx
1sinx
(0x
)
C、y
1D、ytanx
本题意在巩固用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”，待学生完成后，随机抽取几名学生说一下答案，选D，应该不会有问题。
2.（小组合作探究）一扇形中心角为α，所在圆半径为R。若扇形周长为一常值C(C>0)，当α为何值时，扇形面积最大，并求此最大值。
本题若直接运用均值不等式不会出现定值，需要拼凑。待学生讨论过后，先通答案，2时扇形面积最大值为
c
tanx
(0x
)
。若有必要，抽派小组代表到讲台上讲解，及时反馈矫正。
（四）本节小结
小结本节课主要内容，知识点，由学生总结，教师完善，不外乎： 1.两个重要不等式
ab2ab(a,bR,当且仅当ab时取“”)
2ab2
a,bR,当且仅当ab时取“”)
2.用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”。
（一）、双基达标（必做，独立完成）：
1、课本第71页练习A、B；
2、已知x1,求yx6
x
1的最值；
（二）、拓展提高(供选做, 可小组合作完成)：
23、若a,bR且a
b
1,求a最大值及此时a,b的值.4、a0,b0,且
5、求函数f(x)
1a
9b
1,求ab最小值.x3x1x
1(x1)的最小值。
通过作业使学生进一步巩固本节课所学内容，注重分层次设计题目，更加关注学生的差异。
七、板书设计：
由于本节采用多媒体教学，板书比较简单，且大部分是学生的展示。
八、效果分析：
本节课采取了我校推行的“三步骤四环节和谐高效课堂”教学模式，通过学案导学，多媒体展示，师生互动，生生互动。学生基本能掌握均值不等式以及其成立的条件；能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。但用均值定理求函数最值时要注意“一正、二定、三相等”，说起来容易做起来难，学生还得通过反思和课后训练进一步体会。
我的说课到此结束，恳请各位评委和老师们批评指正，谢谢！
因式分解教案
我们听了一场关于“因式分解教案”的演讲让我们思考了很多，经过阅读本页你的认识会更加全面。老师会对课本中的主要教学内容整理到教案课件中，所以老师写教案可不能随便对待。教案是评估学生学习效果的有效依据。
因式分解教案 篇1
教学目标：
1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。
2、经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。
3、通过对公式的探究，深刻理解公式的应用，并会熟练应用公式解决问题。
4、通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。
教学重点：
应用平方差公式分解因式．
教学难点：
灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
教学过程：
一、复习准备 导入新课
1、什么是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？
①(x＋2)(x－2)= ②
③
2、我们已经学过的因式分解的方法有什么？将下列多项式分解因式。
x2+2x
a2b-ab
3、根据乘法公式进行计算：
(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=
二、合作探究 学习新知
(一) 猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？
（1）= (2)= (3)=
(二)想一想，议一议: 观察下面的公式:
＝（a＋b）（a—b）（
这个公式左边的多项式有什么特征：_____________________________________
公式右边是__________________________________________________________
这个公式你能用语言来描述吗？ _______________________________________
(三)练一练：
1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
① ② ③ ④
2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？
(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)= ( ) (5) 36a4=( )2 (6) 0.49b2=( )2 (7) 81n6=( )2 (8) 100p4q2=( )2
（四）做一做：
例3 分解因式：
(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2
（五）试一试：
例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试。
(1) x4- y4 (2) a3b- ab
（六）想一想：
某学校有一个边长为85米的正方形场地，现在场地的四个角分别建一个边长为5米的正方形花坛，问场地还剩余多大面积供学生课间活动使用？
因式分解教案 篇2
教学目标:
1、 理解运用平方差公式分解因式的方法。
2、 掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。
3、 进一步培养学生综合、分析数学问题的能力。
教学重点:
运用平方差公式分解因式。
教学难点:
高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。
教学案例:
我们数学组的观课议课主题:
1、关注学生的合作交流
2、如何使学困生能积极参与课堂交流。
在精心备课过程中，我设计了这样的自学提示:
1、整式乘法中的平方差公式是___，如何用语言描述?把上述公式反过来就得到_____，如何用语言描述?
2、下列多项式能用平方差公式分解因式吗?若能，请写出分解过程，若不能，说出为什么?
①-x2+y2 ②-x2-y2 ③4-9x2
④ (x+y)2-(x-y)2 ⑤ a4-b4
3、试总结运用平方差公式因式分解的条件是什么?
4、仿照例4的分析及旁白你能把x3y-xy因式分解吗?
5、试总结因式分解的步骤是什么?
师巡回指导，生自主探究后交流合作。
生交流热情很高，但把全部问题分析完已用了30分钟。
生展示自学成果。
生1: -x2+y2能用平方差公式分解，可分解为(y+x)(y-x)
生2: -x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)
师:这两种方法都可以，但第二种方法提出负号后，一定要注意括号里的各项要变号。
生3:4-9x2 也能用平方差公式分解，可分解为(2+9x)(2-9x)
生4:不对，应分解为(2+3x)(2-3x)，要运用平方差公式必须化为两个数或整式的平方差的形式。
生5: a4-b4可分解为(a2+b2)(a2-b2)
生6:不对，a2-b2 还能继续分解为a+b)(a-b)
师:大家争论的很好，运用平方差公式分解因式，必须化为两个数或两个整式的平方的差的形式，另因式分解必须分解到不能再分解为止。……
反思:这节课我备课比较认真，自学提示的设计也动了一番脑筋，为让学生顺利得出运用平方差公式因式分解的条件，我设计了问题2，为让学生能更容易总结因式分解的步骤，我又设计了问题4，自认为，本节课一定会上的非常成功，学生的交流、合作，自学展示一定会很精彩，结果却出乎我的意料，本节课没有按计划完成教学任务，学生练习很少，作业有很大一部分同学不能独立完成，反思这节课主要有以下几个问题:
(1) 我在备课时，过高估计了学生的能力，问题2中的③、④、⑤ 多数学生刚预习后不能熟练解答，导致在小组交流时，多数学生都在交流这几题该怎样分解，耽误了宝贵的时间，也分散了学生的注意力，导致难点、重点不突出，若能把问题2改为:
下列多项式能用平方差公式因式分解吗?为什么?可能效果会更好。
(2) 教师备课时，要考虑学生的知识层次，能力水平，真正把学生放在第一位，要考虑学生的接受能力，安排习题要循序渐进，切莫过于心急，过分追求课堂容量、习题类型全等等，例如在问题2的设计时可写一些简单的，像④、⑤ 可到练习时再出现，发现问题后再强调、归纳，效果也可能会更好。
我及时调整了自学提示的内容，在另一个班也上了这节课。果然，学生的讨论有了重点，很快(大约10分钟)便合作得出了结论，课堂气氛非常活跃，练习量大，准确率高，但随之我又发现我在处理课后练习时有点不能应对自如。例如:师:下面我们把课后练习做一下，话音刚落，大家纷纷拿着本到我面前批改。师:都完了?生:全完了。我很兴奋。来:“我们再做几题试试。”生又开始紧张地练习……下课后，无意间发现竟还有好几个同学课后题没做。原因是预习时不会，上课又没时间，还有几位同学练习题竟然有误，也没改正，原因是上课慌着展示自己，没顾上改……。看来，以后上课不能单听学生的齐答，要发挥组长的职责，注重过关落实。给学生一点机动时间，让学习有困难的学生有机会释疑，练习不在于多，要注意融会贯通，会举一反三。
确实，“学海无涯，教海无边”。我们备课再认真，预设再周全，面对不同的学生，不同的学情，仍然会产生新的问题，“没有最好，只有更好!”我会一直探索、努力，不断完善教学设计，更新教育观念，直到永远……
因式分解教案 篇3
学习目标
1、 学会用公式法因式法分解
2、综合运用提取公式法、公式法分解因式
学习重难点 重点：
完全平方公式分解因式.
难点：综合运用两种公式法因式分解
自学过程设计
完全平方公式：
完全平方公式的逆运用：
做一做：
1.(1)16x2-8x+_______=(4x-1)2;
(2)_______+6x+9=(x+3)2;
(3)16x2+_______+9y2=(4x+3y)2;
(4)(a-b)2-2(a-b)+1=(______-1)2.
2.在代数式(1)a2+ab+b2;(2)4a2+4a+1;(3)a2-b2+2ab;(4)-4a2+12ab-9b2中，可用完全平方公式因式分解的是_________(填序号)
3.下列因式分解正确的是( )
A.x2+y2=(x+y)2 B.x2-xy+x2=(x-y)2
C.1+4x-4x2=(1-2x)2 D.4-4x+x2=(x-2)2
4.分解因式：(1)x2-22x+121 (2)-y2-14y-49 (3)(a+b)2+2(a+b)+1
5.计算：20062-40102006+20052=___________________.
6.若x+y=1，则 x2+xy+ y2的值是_________________.
想一想
你还有哪些地方不是很懂?请写出来。
____________________________________________________________________________________ 预习展示一：
1.判别下列各式是不是完全平方式.
2、把下列各式因式分解：
(1)-x2+4xy-4y2
(2)3ax2+6axy+3ay2
(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9
应用探究：
1、用简便方法计算
49.92+9.98 +0.12
拓展提高：
(1)( a2+b2)( a2+b2 10)+25=0 求a2+b2
(2)4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0
求x、y关系
(3)分解因式：m4+4
教后反思 考察利用公式法因式分解的题目不会很难，但是需要学生记住公式的形式，之后利用公式把式子进行变形，从而达到进行因式分解的目的，但是这里有用到实际中去的例子，对学生来说会难一些。
因式分解教案 篇4
教学目标
1．知识与技能
了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．
2．过程与方法
经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．
3．情感、态度与价值观
在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．
重、难点与关键
1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．
2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．
3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．
教学方法
采用“激趣导学”的教学方法．
教学过程
一、创设情境，激趣导入
【问题牵引】
请同学们探究下面的2个问题：
问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．
问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值．
二、丰富联想，展示思维
探索：你会做下面的填空吗？
1．ma+mb+mc=（ ）（ ）；
2．x2－4=（ ）（ ）；
3．x2－2xy+y2=（ ）2．
【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
三、小组活动，共同探究
【问题牵引】
（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
①（x+1）（x－1）=x2－1；
②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；
③7x－7=7（x－1）．
（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．
①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）；
②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2．
四、随堂练习，巩固深化
课本练习．
【探研时空】计算：993－99能被100整除吗？
五、课堂总结，发展潜能
由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：
1．什么叫因式分解？
2．因式分解与整式运算有何区别？
六、布置作业，专题突破
选用补充作业．
板书设计
15.4.1 因式分解
1、因式分解 例：
练习：
15.4.2 提公因式法
教学目标
1．知识与技能
能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．
2．过程与方法
使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
3．情感、态度与价值观
培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．
重、难点与关键
1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．
2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．
3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
教学方法
采用“启发式”教学方法．
教学过程
一、回顾交流，导入新知
【复习交流】
下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；
（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．
问题：
1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？
2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？
请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．
【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y．
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
二、小组合作，探究方法
【教师提问】 多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？
【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
三、范例学习，应用所学
【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．
解：－4x2yz－12xy2z+4xyz
=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）
=－4xyz（x+3y－1）
【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．
解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2
=－[（y－x）23a2（y－x）+4b2（y－x）2]
=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]
=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）
解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
=（x－y）23a2（x－y）－4b2（x－y）2
=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]
=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）
【例3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．
【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．
解：0.84×12+12×0.6－0.44×12
=12×（0.84+0.6－0.44）
=12×1=12．
【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？
四、随堂练习，巩固深化
课本P167练习第1、2、3题．
【探研时空】
利用提公因式法计算：
0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69
五、课堂总结，发展潜能
1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．
2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．
六、布置作业，专题突破
课本P170习题15．4第1、4（1）、6题．
板书设计
15.4.2 提公因式法
1、提公因式法 例：
练习：
15.4.3 公式法（一）
教学目标
1．知识与技能
会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
2．过程与方法
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
3．情感、态度与价值观
培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：利用平方差公式分解因式．
2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．
教学方法
采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．
教学过程
一、观察探讨，体验新知
【问题牵引】
请同学们计算下列各式．
（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．
【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．
（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；
（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．
【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．
1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．
【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：
（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．
（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．
【教师活动】引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．
平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．
评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
二、范例学习，应用所学
【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）
（1）x2－9y2； （2）16x4－y4；
（3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2；
（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．
【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．
【学生活动】分四人小组，合作探究．
解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；
（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；
（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；
（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x－y）；
（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）
=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．
三、随堂练习，巩固深化
课本P168练习第1、2题．
【探研时空】
1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．
2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．
四、课堂总结，发展潜能
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．
五、布置作业，专题突破
课本P171习题15．4第2、4（2）、11题．
板书设计
15.4.3 公式法（一）
1、平方差公式： 例：
a2－b2=（a+b）（a－b） 练习：
15.4.3 公式法（二）
教学目标
1．知识与技能
领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2．过程与方法
经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
3．情感、态度与价值观
培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
重、难点与关键
1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．
2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．
3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，达到能应用公式法分解因式的目的．
教学方法
采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．
教学过程
一、回顾交流，导入新知
【问题牵引】
1．分解因式：
（1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2；
（3） x2－0.01y2．
因式分解教案 篇5
教材分析
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。《数学课程标准》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求,也对因式分解常用的四种方法减少为两种,且公式法的应用中,也减少为两个公式,但丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数运算中的'重要作用。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的,事实上,它是整式乘法的逆向运用,与整式乘法运算有密切的联系。分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想,而且也是解决后续—分式的化简、解方程等—恒等变形的基础,为数学交流提供了有效的途径。分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。本章的教育价值还体现在使学生接受对立统一的观点,培养学生善于观察、善于分析、正确预见、解决问题的能力。
学情分析
通过探究平方差公式和运用平方差公式分解因式的活动中，让学生发表自己的观点，从交流中获益，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志建立自信心。
教学目标
1、在分解因式的过程中体会整式乘法与因式分解之间的联系。
2、通过公式a -b =(a+b)(a-b)的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。
3、能运用提公因式法、公式法进行综合运用。
4、通过活动4，能将高偶指数幂转化为2次指数幂，培养学生的化归思想。
教学重点和难点
重点： 灵活运用平方差公式进行分解因式。
难点：平方差公式的推导及其运用，两种因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的综合运用。
因式分解教案 篇6
人教版因式分解教学课件
人教版因式分解教学课件的主要内容如下：
一、单项式
1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。
2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项：
1）.合并同类项的概念：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2）.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3）.合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。
b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
c．写出合并后的结果。
4）.在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：
1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
2）按去括号法则去括号。
3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：
（1）代数式化简
（2）代入计算
（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
六、幂的乘方
1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表示n个am相乘。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。
3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。
七、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=anbn。
3、此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。
八、同底数幂的除法
1、同底数幂的`除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
九、零指数幂
1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
十、负指数幂
1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
十一、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
4、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
十二、平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。
3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（a+b）(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。
十三、完全平方公式
1、(a±b) =a ±2ab+b 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。
十四、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则
1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。
因式分解教案 篇7
1、 会运用因式分解进行简单的多项式除法。
2、 会运用因式分解解简单的方程。
因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。
应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。
1、 知识回顾（1） 因式分解的几种方法： ①提取公因式法： ma+mb=m（a+b） ②应用平方差公式： = （a+b） （a—b）③应用完全平方公式：a 2ab+b =（ab） （2） 课前热身： ①分解因式：（x +4） y — 16x y
1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算： （1） （2ab —8a b） （4a—b）（2）（4x —9） （3—2x）解：（1） （2ab —8a b）（4a—b） =—2ab（4a—b） （4a—b） =—2ab （2） （4x —9） （3—2x） =（2x+3）（2x—3） [—（2x—3）] =—（2x+3） =—2x—3
一个小问题 ：这里的x能等于3/2吗 ？为什么？
想一想：那么（4x —9） （3—2x） 呢？练习：课本p162课内练习
想一想：如果已知 （ ）（ ）=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢？ （让学生自己思考、相互之间讨论！）事实上，若ab=0 ，则有下面的结论：（1）a和b同时都为零，即a=0，且b=0（2）a和b中有一个为零，即a=0，或b=0
试一试：你能运用上面的结论解方程（2x+1）（3x—2）=0 吗？3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程： （1） 2x +x=0 （2） （2x—1） =（x+2） 解：x（x+1）=0 解：（2x—1） —（x+2） =0则x=0，或2x+1=0 （3x+1）（x—3）=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x—3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2
做一做！对于方程：x+2=（x+2） ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以（x+2）吗？为什么？
教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤（1）如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程；（2）如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程；遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式！4、知识延伸解方程：（x +4） —16x =0解：将原方程左边分解因式，得 （x +4） —（4x） =0（x +4+4x）（x +4—4x）=0（x +4x+4）（x —4x+4）=0 （x+2） （x—2） =0接着继续解方程，5、 练一练 ①已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a —2ab+b —c 大于零？小于零？等于零？解： a —2ab+b —c =（a—b） —c =（a—b+c）（a—b—c）∵ a、b、c为三角形的三边 a+c ﹥b a﹤b+c a—b+c﹥0 a—b—c ﹤0即：（a—b+c）（a—b—c） ﹤0 ，因此 a —2ab+b —c 小于零。6、 挑战极限①已知：x=20xx，求∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6的值。解： ∵4x — 4x+3= （4x —4x+1）+2 = （2x—1） +2 0x +2x+2 = （x +2x+1）+1 = （x+1） +10 ∣4x —4x+3 ∣ —4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6= 4x — 4x+3 —4（x +2x+2 ） +13x+6= 4x — 4x+3 —4x —8x —8+13x+6= x+1即：原式= x+1=20xx+1=20xx
（1）运用因式分解进行多项式除法
（2）运用因式分解解简单的方程
作业本6、42、课本p163作业题（选做）
因式分解教案 篇8
《错过》答案
【课堂同步】
1、lánmānhān
sǒuchóuchàng
2、槽贻愫驭
硕嚼涩凝
3、（1）“又”字表明在一年前已经错过了许多，强调了错过是“人生的常态”。
（2）“一般来说”，用在这里表示限定范围，强调丁普遍性，但又不排除例外。
（3）“或许”用在这里表示一种猜测，不肯定。因为“没有意识到错过”的不一定都“能产生一种自足感”。
（4）用两个“立刻”强调速度要快，才有可能“使错过转化为掌握”。“多半”，是“一半以上”的意思，说明不是全部能“使错过转化为掌握”的。
4、对比论证。“错过”了，能够认识到，这是一种“情愫”，在“追悔”中认识到为什么会“错过”，从而不再犯同样的“错过”的失误，这种引以为戒的能力是一种“升腾”的能力。5、冷静而成熟地驾驭。（答案不强求一致，言之有理即可）
6、不矛盾。因为上次错过了，“对错过有了痛切的感受，当机遇再次呈现时，你便会有高度的应变力与把握力”，便能“冷静而成熟地驾驭”。
7、不能调换。两个词的意思不同。“错过”是动词，是失去（机会、对象）的意思；“过错”是名词，是过失、错误的意思。
8、要习惯它、品味它。因为人生充满了错过，没有“万无一失”的人生，所以必须“习惯”错过；错过自有意义，人“在追悔中产生出一种真切而细微、深入而丰厚的情愫”，“灵魂具备了升腾的能力”，产生“高度的应变力与把握力”，所以必须“品味”错过。
【课外拓展】
9、指“我”不能突破现有的写作水平的关键。
10、缺少那能使人除了追求完整的意志而外把一切都忘掉的热忱。
11、“我”省悟到一切艺术与伟业的奥妙——专心。
12、通过细节描写表现罗丹的专注。
13、（示例）我太专注了。
《散步》答案
【课堂同步】
1、（1）C
（2）B
2、C
3、（1）一个“熬”字，形象地写出了老母亲面对漫长的寒冬，在身体和精神方面所经受的磨难之巨。
（2）“总算”表露了“我”盼春春至的欣喜之情。
4、略，
5、因为“我”爱幼，但更尊老；“我”伴同儿子的时日还长。
6、从“母亲摸摸孙儿的小脑瓜”这一细节可以看出，母亲改变主意是因为爱她的孙子。
7、祖孙发生了分歧，处理不好会影响家庭的和睦。
8、小路的景色十分诱人，照应前面的“小路有意思”，说明母亲走小路是顺从小孙子。
9、描写了一家三代和睦融洽、相互体贴关心的动人场面，体现了中华民族尊老爱幼的传统美德。
10、“我”和妻子人到中年，肩负着承前启后的责任，对生活有着高度的使命感。
【课外拓展】
11、暗示修车女工他是影帝阿利克斯•洛依德。
12、女工认为人与人之间应该是平等的、相互尊重的。
13、谁来修车都是我的顾客，无论是普通人还是明星，这是我的工作。每个人都有自己的工作，尽管有分工，但工作不分高低贵贱。
14、看到了普通女工高尚的精神境界，洛依德在她面前感到了自己的浅薄与虚妄。
15、“浅薄”指过分看重自己的职业和成就，“虚妄”指看不起他人和强求别人崇拜自己。
二次根式教案热门
这篇“二次根式教案”是我精心准备的，希望它能够令您满意。教学计划和课件是每位老师上课所必备的材料，每天都需要我们认真编写每一个教学计划和课件。教学计划是教师对教学内容深入理解和准确把握的体现。我深信这个网站能够为您提供有效的解决方案！
二次根式教案 篇1
教案
教法：
1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；
2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：
1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
知识点
上节课我们认识了什么是二次根式，那么二次根式有什么性质呢？本节课我们一起来学习。
二、展示目标，自主学习：
自学指导：认真阅读课本第3页——4页内容，完成下列任务：
1、请比较与0的大小，你得到的结论是：________________________。
2、完成3页“探究”中的填空，你得到的结论是____________________。
3、看例2是怎样利用性质进行计算的.。
4、完成4页“探究”中的填空，你得到的结论是：____________________。
5 、看懂例3，有困难可与同伴交流或问老师。
课时作业
教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？（≈1.414，结果保留整数）
二次根式教案 篇2
教学目标
课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标 1、了解二次根式的概念 2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 4、学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。
教学重点:二次根式的概念和基本性质
教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用
教法和学法
教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式等，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。
教学过程
活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念 1.探究二次根式概念 由四个实际问题(三个几何问题，一个物理问题)入手，设置问题情境，让学生感受到研究二次根式来源于生活又服务于生活。 思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点? (1)要做一个两条直角边的长分别为7cm和4cm的三角尺，斜边的长应为 cm
(2)面积为S的正方形的边长为
(3)要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为m(∏取3.14)
(4)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t= 学生发现所填结果都表示一个数的算术平方根，教师引导学生用一个式子表示这些有共同特点的式子。学生表示为，此时教师启发学生回忆已学平方根的性质让学生总结出a这一条件。在此基础上总结出二次根式的概念。 2.例题评析 例1：哪些为二次根式? 练习：x取何值时下列各式有意义，通过4小题的训练，让学生体会二次根式概念的初步应用。加深对二次根式定义的理解，并注重新旧知识间的联系，用转化的思想解决问题，总结出解题规律：求未知数的取值范围即转化为①被开方数大于等于0②分母不为0列不等式或不等式组解决问题。
活动二：探究二次根式的性质1 1.探究(a)与0的关系 学生分类讨论探究出：(a)是一个非负数，此时归纳出二次根式的第一个性质：双重非负性。培养学生的分类讨论和概括能力。例2：，则变式：，
活动三：探究二次根式的性质2 探究()2=a(a)由课本具体的正数和零入手来研究二次根式的第二个性质，首先让学生通过探究活动感受这条结论，然后再从算术平方根的意义出发，结合具体例子对这条结论进行分析，引导学生由具体到抽象，得出一般的结论，并发现开平方运算与平方运算的关系，培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的`能力。前两题学生口述教师板书，后面的两题由学生板演引导学生分析(2)(4)实质是积的乘方和分式的乘方 拓展：反之(a)如 为后面的化最简二次根式(简单的分母有理化)做好铺垫。 例4：在实数范围内分解因式
活动四：探究二次根式的性质3 3.探究 在活动三的基础上出示课本第4页的探究： 引导学生比较活动三与活动四探究中两组题目的不同之处，活动三中的题目是对非负数先进行开平方运算，再进行平方运算;而活动四中的题目正好相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算。再次由特殊到一般的让学生归纳出二次根式的又一个性质。培养学生观察、对比的能力和意识。 此时引导学生谈一谈对()2和的联系和区别 相同点：①都有平方和开平方运算 ②运算结果都是非负数 ③仅当a时，()2= 不同点：①从形式和运算顺序看：()2先开方后平方，先平方后开方 ②从a的取值范围看：()2(a)，(a为任意数) ③从运算结果看：()2=a(a)，(a为任意数
二次根式教案 篇3
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算:
（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-例2．计算
（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1）（+6）（3-）
=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）2
=10-7=3
三、巩固练习
课本P20练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简+，并求值．
分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可?
二次根式教案 篇4
1教学目标
（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；
（2）会进行简单的二次根式的除法运算;
（3） 理解最简二次根式的概念
2学情分析
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行。二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算。教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向。
3重点难点
重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．
难点：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
4教学过程
4。1 第一学时
教学活动
活动1【导入】复习提问，探究规律
问题1 二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？
师生活动 学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．
2．观察思考，理解法则
问题2 教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：。
问题3 对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动 学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了。
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误。
问题4 对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动 学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。
问题5 对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
师生活动 学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即 。利用该性质可以进行二次根式的化简。
活动2【讲授】观察思考，理解法则
问题2 教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？
师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：。
问题3 对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？
师生活动 学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了。
【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误。
问题4 对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？
师生活动 学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数。
【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算。
问题5 对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？
师生活动 学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即 。利用该性质可以进行二次根式的化简。
活动3【活动】例题示范，学会应用
例1 计算： （1） ； （2） ； （3） 。
师生活动 提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？
再提问：第（2）用什么方法计算更简捷？第（3）题根号下含字母在移出根号时应注意什么？
【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能，
问题5 你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？
师生活动 学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：
（1）这些根式的被开方数都不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（3）分母中不含根号；
【设计意图】引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式。
问题6 课件展示一组二次根式的计算、化简题。
【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算。
活动4【练习】巩固概念，学以致用
例2 教材第9页例7。
师生活动 提问 本题是以长方形面积为背景的数学问题，二次根式的除法运算在此发挥什么作用？
再提问 章引言中的问题现在能解决了吗？
【设计意图】巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力。
活动5【测试】目标检测设计
1．在 、 、 中，最简二次根式为 。
【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解。
2．化简下列各式为最简二次根式： ； 。
【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质。鼓励学生用不同方法进行计算。对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算。
3．化简：（1） ； （2） 。
【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算。
活动6【作业】布置作业
教科书第10页练习第1，2，3题；
教科书习题16。2第10，11题。
二次根式教案 篇5
一、内容和内容解析
1.内容
二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2.内容解析
二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.
二、目标和目标解析
1.教学目标
(1)利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;
(2)会进行简单的二次根式的除法运算;
(3) 理解最简二次根式的概念.
2.目标解析
(1)学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则;
(2)学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.
(3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.
三、教学问题诊断分析
本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.
本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.
四、教学过程设计
1.复习提问，探究规律
问题1二次根式的乘法法则是什么内容?化简二次根式的一般步骤怎样?
师生活动学生回答。
【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则.
五、目标检测设计
二次根式教案 篇6
一、教学目标
1．掌握二次根式的混合运算．
2．掌握混合运算的应用．
3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．
4．通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1．教学重点：二次根式的混合运算．
2．教学难点：混合运算的应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【例题】
例1 化简：
（1） ； （2） ．
解：（1）
（2）
说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如 ，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把 先变为 ，这样 则为1，继续运算可避免错误．
例2 解下列方程（组）：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
．
（2）①× ，得
③
②× ，得
④
③－④，得
把 代入①，得
解得 ．
∴
是原方程组的解．
（3）由②，得
③
①× ，得
④
③－④，得
把 代入①，得
．
∴ 是原方程组的解．
例3 已知 ， ，求 的值．
解： ．
．
， ，
∴ ．
例4 已知 ， ，求 的值．
解： ， ．
．
（二）随堂练习
1．教材中P206中8．
2．解不等式： ．
解：
∴
．
3．已知 ， ，求 的值．
解：3． ，或 ．
．
∴
．
4．已知 ， ，求： 的值．
解 4．
．
5．已知 ，求 的值．
解 5． ．
．
6．不求方根的值比较 与 的大小．
解 6．∵
∴
∴
（三）总结、扩展
根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．
（四）布置作业
教材中P207B组1、3和补充作业．
补充作业：
1．已知 ，求 的值．
2．已知 ， ，求 的值．
（五）板书设计
标 题
1．例题……
3．例题……
2．练习题
4．练习题
八、背景知识与课外阅读
二次根式的混和运算方法和顺序
1．方法 （1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．
（2）在实数范围内运算律仍适用．
（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．
2．顺序 先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数．
二次根式教案 篇7
一、教学目标
1．理解分母有理化与除法的关系．
2．掌握二次根式的分母有理化．
3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．
4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想
二、教学设计
小结、归纳、提高
三、重点、难点解决办法
1．教学重点：分母有理化．
2．教学难点：分母有理化的技巧．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主
七、教学过程
【复习提问】
二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．
例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：
（1） （先乘除，后加减）．
（2） （有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．
（3）辨别有理化因式：
有理化因式： 与 ， 与 ， 与 …
不是有理化因式： 与 ， 与 …
化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．
例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？
引入新课题．
【引入新课】
化简式子 ，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以 的有理化因式，而这个式子就是 ，从而可将式子化简．
例2 把下列各式的分母有理化：
（1） ； （2） ； （3）
解：略．
注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．
二次根式教案 篇8
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．
2．能判断二次根式中的同类二次根式．
3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．
（二）能力训练点
通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．
（三）德育渗透点
从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．
（四）美育渗透点
通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的'形式简单美．
二、学法引导
1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．
2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点二次根式的加减法运算．
2．教学难点二次根式的化简．
3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．
四、课时安排
2课时
五、教具学具准备
投影片
六、师生互动活动设计
1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．
2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．
3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．
4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．
七、教学步骤
（一）明确目标
学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．
（二）整体感知
同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．
二次根式教案 篇9
教学目标
1．使学生进一步理解最简二次根式的概念；
2．较熟练地掌握把一个式子化为最简二次根式的方法．
教学重点和难点
重点：较熟练地把二次根式化为最简二次根式．
难点：把被开方数是多项式和分式的二次根式化为最简二次根式．
教学过程设计
一、复习
1．把下列各式化为最简二次根式：
请说出第(3)，(4)题的解题过程．
答：第(3)题的被开方数是一个多项式，先把它分解因式，再运用积的算术平方根的性质，把根号中的平方式及平方数开出来，运算结果应化为最简二次根式．
理化．
二、新课
例1 把下列各式化成最简二次根式：
请说出各题的`特点和解题思路．
答：(1)题的被开方数及(2)题的被开方数的分子是多项式，应化成因式积的形式，可以先分解因式，再化简．
(3)题的被开方数的分母是两个数的平方差，先利用平方差公式把它化为乘积形式，再根据商的算术平方根和积的算术平方根的性质及分母有理化的方法，使运算结果为最简二次根式．
例2 计算：
分析：依据二次根式的乘除法的法则进行计算，最后要把计算结果化成最简二次根式．
三、课堂练习
1．选择题：
(1)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(2)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(3)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(4)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(5)下列二次根式中，最简二次根式是 [ ]
(7)下列化简中，正确的是 [ ]
(8)下列化简中，错误的是 [ ]
2．把下列各式化为最简二次根式：
3．计算：
答案：
四、小结
1．把一个式子化为最简二次根式时，如果被开方数是多项式，应把它化成积的形式，一般可考虑先分解因式，然后再化简．
2．如果一个式子的被开方数的分母是一个多项式，而这个多项式又不能分解因式(如课堂练习2(2))，在分母有理化时，把分子分母同乘以这个多项式．
3．二次根式的乘除法运算，运算结果一定要化为最简二次根式．
五、作业
1．把下列各式化成最简二次根式：
2．计算：
答案：
课堂教学设计说明
最简二次根式教学分二课时进行．教学设计中首先安排讨论二次根式的被开方数是单项式以及被开方数的分母是单项式的情况，然后再讨论被开方数是多项式和分母是多项式的情况．通过5个例题及课堂练习，最后达到使学生比较深刻地理解最简二次根式的概念，达到熟练地掌握把二次根式化为最简二次根式的教学目标．
的是引导学生能把一个式子化简为最简二次根式应用于有关计算问题中去，把最简二次根式和已学过的二次根式的乘除运算进行联系，促使学生把单个概念和方法纳入认知系统中，启发学生认识到二次根式的乘除运算与最简二次根式是密切关联的．
不等式的课件
一篇值得一读的“不等式的课件”文章栏目小编在这里推荐给您。老师在上课前需要有教案课件，通常老师都会认真负责去设计好。 深入的教案和课件是有效的教学手段。以下提示仅供参考可能有所偏差请您自行判断！
不等式的课件 篇1
基本不等式是高中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。在本文中，我将从基本不等式的定义、证明、性质及应用四个方面进行阐述。
一、基本不等式的定义
基本不等式是描述两个实数乘积大小关系的不等式，它可以通过数学归纳法来证明。具体来说，对于任意的正整数n，有如下不等式成立：
$(1+\frac{1}{n})^n
其中，e表示自然对数的底数，即e≈2.71828。
二、基本不等式的证明
基本不等式的证明可以利用二项式定理来进行。具体来说，我们可以将(1+1/n)的n次方展开，得到：
$(1+\frac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^n {\choose n}{k} \frac{1}{n^k}$
因为${\choose n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$，所以有：
$(1+\frac{1}{n})^n =\frac{n!}{n^n} + \frac{n(n-1)}{2!n^2}+\cdots+\frac{1}{n^n}$
显然，对于k≥2的情况，都有$\frac{{\choose n}{k}}{n^n} \leq \frac{1}{n^2}$。因此，我们可以得到：
$(1+\frac{1}{n})^n
进一步化简得：
$(1+\frac{1}{n})^n
同理可得：
$(1+\frac{1}{n})^{n+1} > \frac{n+1}{n}$
将上述两个不等式带入到基本不等式中，得到：
$(1+\frac{1}{n})^n
证毕。
三、基本不等式的性质
基本不等式具有以下性质：
1. 基本不等式是一个单调递增的函数。
2. 基本不等式适用于所有的正实数。
4. 基本不等式可以推广到一般的n次方。
5. 基本不等式可以用来证明和推导其他数学定理。
四、基本不等式的应用
基本不等式在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。以下列举几个具体例子：
1. 用基本不等式证明逼近贝塞尔函数的性质。
2. 在物理学中，基本不等式可用于证明波动方程的稳定性。
3. 在经济学中，基本不等式可用于证明市场力量的强度与稳定性。
综上所述，基本不等式是一个重要的数学概念，具有广泛的应用价值。掌握基本不等式的定义、证明、性质及应用，对于提高数学水平和学科交叉研究都有重要作用。
不等式的课件 篇2
基本不等式是中学数学的重要概念之一，它在数学中有广泛的应用，是其他不等式的基础和重要工具。本篇文章将围绕基本不等式展开，探讨其相关概念，证明方法和实际应用。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指一个数列的平均值大于等于它的几何平均值，即对于任意正整数$n$和正实数$x_1, x_2, ..., x_n$，有$\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$。
该不等式的意义在于，对于$n$个数的平均数，它越接近各个数的几何平均数，这些数的值的差距就越小。因此，基本不等式可以用来估计一组数据的分布情况和误差范围。
二、基本不等式的证明方法
基本不等式的证明方法有多种，其中比较流行的是数学归纳法和均值不等式法。下面将分别进行讲解。
1. 数学归纳法
(1) 当$n=2$时，我们有$\dfrac{x_1+x_2}{2} \geqslant \sqrt{x_1x_2}$，即$(x_1-x_2)^2 \geqslant 0$，显然成立。
(2) 假设当$n=k$时成立，即$\dfrac{x_1+x_2+...+x_k}{k} \geqslant \sqrt[k]{x_1x_2...x_k}$，现在我们来证明当$n=k+1$时也成立，即$\dfrac{x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}}{k+1} \geqslant \sqrt[k+1]{x_1x_2...x_kx_{k+1}}$。
将不等式两边同乘以$k+1$得到$k\dfrac{x_1+x_2+...+x_k}{k}+(x_{k+1}) \geqslant \sqrt[k+1]{x_1x_2...x_k} \cdot (k\dfrac{x_1+x_2+...+x_k}{k})^\dfrac{1}{k} \cdot x_{k+1}^\dfrac{1}{k+1}$。
根据均值不等式和归纳假设，有$k\dfrac{x_1+x_2+...+x_k}{k} \geqslant \sqrt[k]{x_1x_2...x_k} \geqslant x_{k+1}^\dfrac{1}{k}$，将其代入原式得到$k\dfrac{x_1+x_2+...+x_k}{k}+x_{k+1} \geqslant (k+1) \cdot \sqrt[k+1]{x_1x_2...x_kx_{k+1}}$。
由此证明当$n=k+1$成立。
2. 均值不等式法
通过均值不等式可得：
$\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$
$\dfrac{(x_1+x_2+...+x_n)(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n})}{n^2} \geqslant \dfrac{(n\dfrac{1}{\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}})^2}{n^2}$
$x_1x_2...x_n(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}) \geqslant n^2$
由此证明基本不等式成立。
三、基本不等式的实际应用
基本不等式在很多领域中都有广泛应用。
1. 经济学
基本不等式可以用于证明一个国家的经济发展水平，即该国的平均经济水平越高，其经济增长率越高。这对于财经政策的制定和实施具有重要意义。
2. 物理学
基本不等式也可以被应用到物理学中。例如，它可以描绘热力学中的热力学势函数和热力学系统间的温度规律。
3. 统计学
在统计学中，基本不等式可以用于证明一个样本数据集的方差越大，样本数据之间的差距就越大；反之亦然。
总的来说，基本不等式是数学中非常重要的一个概念。它不仅具有理论表述和证明，还能被应用在实际生活和自然界的各个领域中。相信在以后的学习生活中，基本不等式会成为越来越重要的知识点。
不等式的课件 篇3
基本不等式是初中数学中的一个重要知识点，也是高中数学的基础。通过学习基本不等式，不仅可以帮助我们更加深入地理解不等式的性质，而且可以提高我们解决实际问题的能力。下面就让我们一起来探讨一下关于基本不等式的相关主题吧。
一、基本不等式的定义及应用
基本不等式是数学中常见的一种不等式形式，其具体定义为：对于正整数n和任意实数a1，a2，......，an，有下列不等式成立。
（a1+a2+......+an）/n ≥√（a1×a2×......×an）
基本不等式的应用非常广泛，涵盖了数学、物理、工程等多个领域。例如，在散装粉尘瓶装问题中，如果散装粉尘数量恒定，而瓶装数量不同，那么最节省费用的方案就是让每个瓶子装入等量的粉尘，即每个瓶子所用的费用最省。
基本不等式在数学中的应用也很广泛，例如，在证明一个三角形的角度之和等于180度的问题时，就可以使用基本不等式。
二、基本不等式的证明方法
基本不等式的证明方法有多种，下面就介绍其中较为常见的两种方法。
1. 通过平均数和平均数的平方差证明
将左右两边分别设为（a1+a2+......+an）/n和√（a1×a2×......×an），设它们的算数平均数为A，几何平均数为G，即
A=（a1+a2+......+an）/n
G=√（a1×a2×......×an）
那么，可以得出以下结论：
四倍平均数的平方比四倍几何平均数的平方不小于1，即
4A²≥4nG²
化简得（A-G）²≥0
而（A-G）²≥0 是显然成立的，因此基本不等式得证。
2. 通过对数和的差证明
对（a1+a2+......+an）/n 和√（a1×a2×......×an）取对数，得到
ln（（a1+a2+......+an）/n）和
0.5ln（a1×a2×......×an）
令b1，b2，......，bn 为Ln（a1），ln（a2），......，ln（an）
则上式变为（b1+b2+......+bn）/n 和 0.5（b1+b2+......+bn）
那么，可以得出以下结论：
平方并减去平方和的差的一半，恒大于或等于0，即
n（e^b1+e^b2+......+e^bn）≥(e^b1×e^b2×......×e^bn）⁰·⁵
简化得：（a1+a2+......+an）/n ≥√（a1×a2×......×an）
因此，基本不等式得证。
三、基本不等式的推论
基本不等式在解决实际问题时非常有用，不仅可以帮助我们更好地理解不等式的性质，还可以推导出一些有用的结论。
1. 美国数学家霍尔德(K.O.Holder)在1889年提出了一个推论，称为Holder不等式，它的思想是：如果一个积分或求和中的各项乘方幂次之和相等，那么乘积的值最大时，每个变量的值相对都相等，即
a^p1×b^p2×......×z^pz ≤p1a1+p2b2+......+pnzn
其中p1，p2，......，pn均为正数。
2. 在证明柯西定理时，我们可以推导出柯西-施瓦茨不等式，即
（∑ai²）（∑bi²）≥（∑aibi）²
3. 可以证明，任何一个n次实系数多项式都可以表示为n个线性因式的积，其中每个线性因式都可以表示为两个实系数一次多项式（例如：x-a）的乘积。
以上就是关于基本不等式的相关主题的详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一数学知识点。
不等式的课件 篇4
基本不等式作为高中数学必修内容之一，在学生学习中扮演着极为重要的角色。本篇文章将围绕基本不等式，探讨它的概念、性质、证明方法及应用，并展示基本不等式的魅力和实用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整数 $n$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
这个不等式也被称为均值不等式或AM-GM不等式。其中，$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示这些数的算术平均值，而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示这些数的几何平均值。均值不等式的意义在于，算术平均数大于等于几何平均数。
二、基本不等式的性质
基本不等式有以下几个性质：
1. 当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时等号成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一个数为 $0$，则 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$，这时等号成立。
3. 基本不等式可以扩展到实数范围内。
4. 均值不等式不等式对于大于 $0$ 的实数都成立。
三、基本不等式的证明方法
基本不等式有多种证明方法，下面列举其中两种：
方法一：数学归纳法
假设基本不等式对于 $n=k$ 时成立，即对于 $k$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，有以下不等式成立：
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
现证明它对于 $n=k+1$ 时也成立。将 $a_{k+1}$ 插入到原来的不等式中，得到：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于：
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此，我们只需证明以下不等式：
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
经过变形化简，可以得到：
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
显然，这是成立的。
因此，按照归纳法的证明方式，基本不等式对于所有的正整数 $n$ 都成立。
方法二：对数函数的应用
对于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，我们可以定义函数：
$f(x)=\ln{x}$
显然，函数 $f(x)$ 是连续的、单调递增的。根据式子：
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到：
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
对于左边的式子，有：
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
对于右边的式子，有：
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此，我们可以得到：
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即：
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
这正是均值不等式的形式。因此，基本不等式得证。
四、基本不等式的应用
基本不等式在数学和物理学中有广泛的应用。下面介绍几个常见的应用场景：
1. 最小值求解
如果有 $n$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的和为 $k$，求它们的积的最大值，即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根据基本不等式，有：
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此，可以得到：
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
两边同时取幂，可以得到：
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即：
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函数的优化问题
如果 $f(x)$ 是一个凸函数，$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正实数，$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意实数且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$，则有：
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
这是凸函数的优化问题中常用的基本不等式形式。它可以通过Jensen不等式或基本不等式证明。
3. 三角形求证
如果我们可以用 $a,b,c$ 表示一个三角形的三边长，则有：
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
这个不等式在三角形求证中也被广泛应用。
五、结语
基本不等式是高中数学必修内容之一，但其实它的应用范围远不止于此。在实际问题中，基本不等式常常能给我们提供有效的解决方案。通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解基本不等式的概念、性质、证明方法及应用，并能在实际问题中灵活运用。
不等式的课件 篇5
基本不等式课件
基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它可以用于证明和求解不等式，是学习数学必不可少的一部分。本文从基本不等式的定义、性质、推导和应用四个方面进行阐述，希望能够帮助广大学生更好地理解和运用基本不等式。
一、基本不等式的定义
基本不等式，是指在与、或、非等逻辑运算中，关于不等式的一组基本法则，它们是：
1. 加法不等式法则：若 a>b，则 a+c>b+c。
2. 减法不等式法则：若 a>b，则 a-c>b-c。
3. 乘法不等式法则：若 a>b(i>0)，则 ai>bi(i>0)；若 a
0)，则 ai0)。
4. 除法不等式法则：若 a>b(i>0)，则 a/i>b/i(i>0)；若 a0)，则 a/i0)。
二、基本不等式的性质
基本不等式的性质有以下几点：
1. 基本不等式的法则具有传递性，即若 a>b>c，则 a+c>b+c>c，a-c>b-c>c，ai>bi>ci(i>0)，a/i>b/i>c/i(i>0)。
2. 基本不等式的法则在非正整数中不成立，即对于任意的 a、b、i∈Z，若a>b，则 ai>bi 不一定成立。
3. 基本不等式的法则在复数中不成立，即对于任意的 a、b、i∈C，若a>b，则 ai>bi 不一定成立。
三、基本不等式的推导
基本不等式的推导是基于实数域的可比性和大小关系建立的。本文重点阐述了加法不等式法则和乘法不等式法则的推导过程。
1. 加法不等式法则的推导
（1）定义a和b：设a和b是任意两个实数，且a>b。
（2）常数c取正值：令c为任意正数，有a-c>b-c。
（3）常数c取负值：令c为任意负数，则-a>-b，即a+b>c。
（4）常数c取零：令c=0，则a>b。
由上述推导过程可知，加减法不等式法则是基本不等式的核心，具有重要的实用价值。其应用范围涉及到很多方面，例如计算机、工程、经济等等。
2. 乘法不等式法则的推导
（1）定义a、b、i：设a、b、i是任意三个实数，且a>b(i>0)。为了简化表达，将i写成x。
（2）c取x: 因为c是正数，所以ac>bc。
（3）c取1/a: 若a>b，则1/a
合起来，得到ax>bx(x>0)。在不等式中x也可以取负数，即ax四、基本不等式的应用
基本不等式的应用范围非常广泛，除了在高中数学教学中常用于证明和求解复杂的不等式外，还可应用于其他领域，例如经济、计算机、科学等。下面举例说明：
1. 经济领域：在经济学中，基本不等式可以用于比较现金、利率和收益率等经济变量的差异性，帮助企业和个人做出决策。
2. 计算机领域：在计算机科学中，基本不等式可以用于计算机算法的复杂性分析和性能优化，提高计算机算法的执行效率。
3. 科学领域：在科学研究中，基本不等式可以用于物理学和化学学科中的一些公式证明和参数计算，例如在力学中用于计算力量和质量之间的关系。
总之，基本不等式在数学和其他领域中都具有非常重要的作用，可谓是多方面应用的数学工具。希望各位同学在学习中认真掌握，灵活运用，为自己的成长和发展打下良好的数学基础。
不等式的课件 篇6
《基本不等式》是数学中的一个基础概念，它在数学中有着广泛的应用，被称为数学不等式研究的重要命题之一。基本不等式是指对于任意正整数n，a1、a2、…、an为正实数，则有
(a1 + a2 + … + an)² ≥ n(a1² + a2² + … + an²)
这个不等式的含义是把n个正实数的和的平方与它们的平方和作比较，两个数列的差距体现在一个系数n上。它的意义是，要使平均数的平方大于等于方差，每一项与平均数的差的平方和就要尽量小。此外，该不等式对于证明其他不等式也有着重要的作用，如柯西不等式、霍尔德不等式等等。
随着不等式研究越来越广泛和深入，基本不等式的应用范围也日益扩大。在数学中，基本不等式的应用不仅仅局限于高等数学中，而是涉及到计算机科学、经济学、生物学等各个领域。特别是在概率统计学和非参数统计学中，基本不等式被广泛应用于度量随机变量之间的相似程度，并对不同数据之间的区别进行分析和处理。
举个例子，如在生物学领域中，基本不等式可用于研究生物样本中不同基因的表达水平。有了它，我们可以比较不同基因之间的差异，评估它们的生物学重要性，并开发出新的疗法。在计算机领域，基本不等式可用于证明算法的正确性，并帮助我们设计出更快、更有效的计算机算法，以满足不同应用的需求。
总之，基本不等式是数学中一个非常重要的概念，它的应用不仅仅局限于数学领域，而是涉及到我们生活和工作中的方方面面。通过对基本不等式的认识和应用，我们可以更好地理解和创新解决实际问题，推动科学技术的发展进步。
不等式的课件 篇7
基本不等式课件
基本不等式是初中数学中的重要知识点之一，在学习这个知识点之前，我们先来了解下基本不等式的定义和公式：
定义：若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有
(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。
公式：(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。
这个公式的意义是，当n个数的平均值不小于这n个数的相乘积的n次方根时，我们就称这个不等式为基本不等式。
基本不等式的意义很重要，它是一种实用的数学工具，能够结合实际问题进行运用。在统计学中，我们经常需要对数据进行分析，计算某一组数的平均值。基本不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的平均值一定不小于它们的几何平均数。
下面我们来看一个简单的实例：
假设有两组数，分别为2,3,4和1,2,8，现在我们需要比较这两组数哪一组平均值较大。
我们可用基本不等式进行求解：
对于2,3,4，有（2+3+4）/3=3，（2×3×4）的1/3次方≈2.83，所以有3≥2.83。
对于1,2,8，有（1+2+8）/3=3.67，（1×2×8）的1/3次方≈2.19，所以有3.67≥2.19。
通过比较，我们可以发现，第一组数的平均值是小于第二组数的平均值的。
基本不等式虽然简单，但是在实际应用中有着广泛的应用。例如在金融学、经济学、医学等领域中，我们需要对数据进行分析，计算平均值。基本不等式能够帮助我们进行更加精确的计算，从而提高研究的准确性和可靠性。
在数学竞赛中，基本不等式也是一道基础题，掌握好它的原理和应用方法，就能够轻松应对数学竞赛中的各种不等式题，提升自己的数学能力。
综上所述，基本不等式是一项非常实用的数学工具，它能够帮助我们进行数据分析和计算，提高研究的准确性和可靠性。在数学的应用和研究中，掌握好基本不等式的原理和应用方法非常重要。
不等式的课件 篇8
关于基本不等式的主题范文：
基本不等式是数学中非常重要的一道课题，所以我们需要从以下几个方面来对基本不等式进行介绍。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指数学中的一个重要定理，它表述的是任意正整数n及n个正数a1，a2，…，an的积与它们的和之间的关系。也就是说，对于任意正整数n和n个正数a1，a2，…，an，有以下不等式成立：
（a1+a2+…+an）/n ≥ （a1×a2×…×an）1/n
其中，等式成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的证明
下面我们来看一下基本不等式的证明过程。
首先，如果我们令Ai = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n，则我们可以将原不等式转化为：
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下来，我们来看一下如果证明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，那么我们就可以证明基本不等式，因为不等式具有对称性，即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n，则(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下来，我们证明G ≤ (a1+a2+…+an)/n，即：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
将不等式右边两边平方，得到：
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
这时，我们来观察右边的式子，将式子中的每一项都乘以(n-1)，得到：
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
继续进行简化，得到：
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左边乘以1/n，右边除以(n-1)，得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
这样我们就完成了基本不等式的证明。
三、基本不等式在实际中的应用
基本不等式在实际中的应用非常广泛，下面我们来看一下其中的几个例子。
1. 求平均数
如果我们已知n个正数的积，需要求它们的平均数，那么根据基本不等式，我们可以得到：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式两边都乘以n-1，得到：
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
这样我们就可以求得平均数：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求数列中n个数的积的最大值
假设我们需要从数列{a1, a2, …, an}中选取n个数，求它们的积的最大值。根据基本不等式，我们有：
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因为我们需要求积的最大值，所以当等式左边的和恰好等于n个数的积时，这个积才能取到最大值。因此，我们可以得到：
a1 = a2 = … = an
这样，我们就得到了求数列中n个数的积的最大值的方法。
三、结论
通过对基本不等式的介绍，我们可以发现它不仅仅是一道看似简单的数学题目，而是一个非常重要的定理，有着广泛的应用价值。希望大家能够在今后的学习中更加重视基本不等式，并能够深刻理解它的实际应用。
等量关系的教案(热门5篇)
作为一名默默奉献的教育工作者，总不可避免地需要编写教学设计，教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。那么应当如何写教学设计呢？以下是小编精心整理的四年级《等量关系》教学设计，欢迎阅读与收藏。
等量关系的教案 篇1
教学内容：
教科书第119页的例3以及它下面的”做一做“，练习二十九的第5～11题。
教学目的：
通过巩固练习，使学生理解列方程解应用题的'步骤和方法。
教学过程：
一、复习。
（1）让学生说一说三角形、长方形、平行四边形和梯形的周长、面积计算公式，教师板书：长方形平行四边形三角形梯形，面积：s=abs=ahs=ah÷2s=（a＋b）h÷2
（2）教师就三角形的面积计算公式提问：
“知道了三角形的底和高，能求面积吗？”
“知道了三角形的面积和底，能求高吗？怎样求？”（面积乘以2除以底）
“知道了三角形的面积和高，能求底吗？怎样求？”（面积乘以2除以高）
二、新授。
1、引入新课。
刚才同学们都回答得很好，对于后面两种情况，如果让你列方程解答，你会吗？下面我们就一起来学习方程的解法。
2、教学例3。
出示例3：一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？
指名学生读题。说出已知什么，求什么。
问：三角形的面积与它的底和高有怎样的关系？
这个面积计算公式是一个等式吗？如果是，你能根据这个等式列出方程吗？
学生试做，一学生到黑板上做，教师巡查。解答完后要进行检验。
问：已知三角形的面积和高，求底，怎样列方程？
使学生明白：学了简易方程，只要记住了三角形的面积计算公式，就不需要另记求底，求高的公式了。
三、巩固练习。
1、做例3下面的“做一做”
让学生读题后，说一说哪些量是已知的，那些量是未知的。再想一想：长方形的长和宽与周长有什么关系。
2、练习二十九的第5～8题。
课后小结：
等量关系的教案 篇2
教学内容
列方程解应用题
教学目标
1.使学生学会根据两个未知量之间的关系，列方程解答求含有两个未知数的应用题。
2.使学生能根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，培养学生主动获取知识的能力和习惯。
3.使学生学会用检验答案是否符合已知条件的方法，提高学生求解验证的能力。
教学重点
列方程解答数量关系稍复杂的两、三步应用题。
教学难点
形如：ax+bx=c的数量关系
教学理念
培养学生自主探究、合作交流的学习方式。提高学生的检验能力。
教师活动过程
一、复习铺垫
1、练习二十一T1
学生回答
2、根据条件说出数量关系式：
果园里的'桃树和梨树一共有168棵。
果园里的桃树比梨数多84棵。
桃树棵数是梨树的3倍。
学生回答数量关系式
3、你能选择其中两个条件，提出问题，编成一道应用题吗？试试看！
学生自主编题，口头说题
4、依据学生回答，教师出示题目。
A.根据条件（1）、（2）编题：果园里梨树和桃树一共有168棵，桃树比梨树多84棵。梨树和桃树各有多少棵？
B.根据条件（1）、（3）编题：果园里梨树和桃树一共有168棵，桃树的棵数是梨树的3倍。梨树和桃树各有多少棵？（例1）
C.根据条件（2）、（3）编题：果园里的桃树比梨树多84棵，桃树的棵数是梨树的3倍。梨树和桃树各有多少棵？（想一想）
教师巡视，了解情况。
二、探究新知
1.学生尝试例1
引导学生画出线段图
集中反馈：生说师画图
2.教师组织学生汇报
学生介绍算术解法时，教师引导学生画线段图理解数量间的关系。
学生介绍方程解法时，注重让学生说出怎样找数量间的相等关系。
3.小组讨论。
解这道题，你认为算术方法和列方程解哪一种比较容易找到解题的数量关系，为什么？
用方程解，设哪个数量为X比较合适？用什么数量关系式来列式呢？
4.学生独立完成想一想。
这一题与例1有什么相同的地方？有什么不同的地方？
明确三点：
1、一般设一倍数为X 。
2、把几倍数用含有X的式子表示。
3、通过列式计算，可以检验两个得数的和（差）及倍数关系是否符合已知条件。
4、完成课本94页练一练
指名板演，其余集体练习，评讲时让学生说说是怎样想的，怎样检验？
三、小结
本课学习了什么内容？你有哪些收获？
四、作业
等量关系的教案 篇3
教学目标
1．知识与技能：通过天平游戏，发现等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
2．过程与方法：能够利用发现的等式性质，解简单的方程。
3．情感态度价值观：培养动手实践，认真观察、思考归纳的学习习惯。
学习重点
通过天平游戏，发现等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。
学习难点
利用发现的等式性质，解简单的.方程。
教学过程
一、知识回顾。
填空：含有_______的_______叫做方程。
判断：下列这些是方程吗：
1．x＝10 （ ）
2．32＋x （ ）
3．16＋4＝20 （ ）
二、自学指导。
仔细观察下列图片，你发现了什么规律？
1．通过观察，你有什么发现？先在小组内互相说一说自己的想法。（课本左边主题图 ）
提示：
（1）现在的天平处于什么状态？_______，说明两盘的质量_______。
（2）从左往右观察每组两幅图片，天平的左右两盘有什么变化？天平有什么变化吗？现在你能把天平的规律描述出来吗？换成等式呢？
2．现在再来观察一组，和上面的 一组有什么不同吗？（课本右边主题图。）
对比上面一组 天平图片的规律，你能说出这 一组图片中有什么规律吗？用一句话来描述等式的规律。
请用我们自己的语言对这个规 律进行举例说明。
三、实践应用。
利用刚刚学习的方法，求出方程中的x。
x＋2＝10
思考：在这个方程里，未知数x属于这个加法算式的哪部分？根据加法各部分之间的关系，你能想到这个方程的不 同解法吗？试一试吧。
练习巩固：
解方程：y－7＝12 23＋x＝45
四、课堂小结。
总结一下，我们这节课学习 了什么内容呢？
1．会解一些方程了。
2．注意算数准确。
五、目标检测。
1．通过研 究我们明白了：等式两边都_______（或_______）同一个数，等式_______。
2．解方程：x－12.3＝3.8。
3．结合我们身边的事例，编一道题，列出方程并解出来。
六、作业布置。
课本P69页第2题、第5题。
等量关系的教案 篇4
教学目标
第一维目标：知识与能力目标--理解统计在数学中的意义，理解条 形统计图的特点和优势；掌握条形统计图中横、纵坐标及单位的意义，能看懂统计图中的数量关系；学会用统计的方法分析生产生活中的实际问题；能够根据统计 的结果分析得出相关的结论。
第二维目标：过程与方法目标--在统计的过程中要求学生能够细心运算，学习数学研究的一般性方法，体会由数字规律得到相关结论的逻辑关系，从而提高判断能力和应用数学知识的能力。
第三维目标：情感态度与价值观目标--在学习过程中充分体会数字的分布规律，体现数学 的美感和对于实际问题的探 究型研究方法，体会数学的魅力和奥妙，提高逻辑思维能力和辩证的研究方法。
教具
坐标纸。
教学过程
一、组织教学。
组织小同学们集中注意力，开始学习，进入到学习状态。
二、导入新课。
1．师生互动：请每一位小同学把自己的生日写在一张小纸条上，在黑板上列出春、夏、秋、冬的图表，请每一位小同学在坐标纸上画出与黑板上一样的图表，请班干部在讲台前统计各个季节生日的同学人数，老师在黑板上、同学们在坐标纸上同时完成生日的条形统计图。
2．教师讲解：做统计图时的注意事项，第一步，认真纪录每一个数据；第二步，统计每一个范围内的`数据个数；第三步，在方格纸上认真画出条形图；第四步，由统计图对数据进 行分析。明确横坐标、纵坐标分别代表的数学涵义及单位量的大小。
重点：细心、准确、无误、美观。
难点：对于数据的分析，比较数据之间的差别，理解最大值与最小值。
三、例题讲解。
本例题通过师生互动完成班级内同学们的生日分布条形统计图，旨在要同学们在缜密的数学思维背景下理解统计的涵义，基于一组相关 数据的数理分析过程，了解通过统计的方法掌握某一数据的变化规律和内涵， 进行科学的分析。 掌握条形统计图当中横坐标、纵坐标的数学意义与单位量与数据量的大小关系及单位。
四、习题巩固。
习题一： 四年级举行的特色运动会，调查并统计同学们最喜欢哪些特色体育项目。
习题二：班级要设立图书角，调查并统计同学们最喜欢哪类图书。
习题三：调查并统计班级同学最喜欢的电视节目情况。
五、拓展及小结。
1．基于某一类的相关数据，我们可以进 行数据的表示，本节课仅利用条形统计图作例，说明对于数据的合理表示可以得到对于数据的更有效分析，从而得出相关结论，采 取相应措施，体现数学与生产生活的紧密结合性。
2．有关条形统计图的优势：体现 每组中的具体数据；易比较数据之间的差别。
3．统计图有很多种，后续课堂还会学习到：扇形统计图、折线统计图，请同学们先有一个印象。
等量关系的教案 篇5
教学目标：
1.在理解题意的基础上寻找等量关系，初步掌握列方程解两、三步计算的简单实际问题。
2.从不同角度探究解题的思路，让学生学会在计算公式中求各个量的方法。
3.让学生初步体会利用等量关系分析问题的优越性。
教学重点：
1.让学生学习在计算公式中求各个量的方法。
2.让学生体会利用等量关系分析问题的优越性。
教具准备：
配套教与学的平台
教学过程：
一、复习引入
1.解方程
8x ÷ 2 ＝28 7（x＋3）÷ 2 ＝28
2（x ＋17 ）＝40 6（5＋x）÷ 2 ＝36
2.任意选择一题进行检验。
3.复习以前学过的公式：C＝2（a＋b）
C＝4a S＝ab S＝ah÷2 S＝（a＋b）h÷2 ……
4.揭示课题：列方程解应用题（1）
[说明：复习部分安排解方程，一方面帮助学生巩固方程的合理解法；另一方面也对方程的检验格式稍作复习，便于学生养成良好的验算习惯。同时，适当地帮助学生整理与复习计算公式，这样导入新课比较自然，也有助于展开后续的学习。]
二、探究新知
1.出示例题：用一根长为28厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长是8厘米，宽是多少厘米？
（1）学生尝试。（抽生板演）
（2）分析、交流
先设这个长方形的宽是x厘米，
再找等量关系来列方程。
（长方形的周长计算公式就是一个等量关系。）
（3）板书：解：设这个长方形的宽是x厘米。
2（8 ＋x ）＝28 ，
8＋x ＝14，
x ＝6.
答：这个长方形的宽是6厘米。
（4）比较算术与方程的解法。（建议学生，选择方程的方法。）
（5）检验。
2.补充例题：一块三角形土地的面积是900平方米，高36米，它的底边长多少米？
问：
（1）这道题已知条件是什么？要求什么？
（2）能不能直接用三角形的面积计算公式算出高。
（3）可以利用三角形的面积计算公式列方程，未知数高怎样表示？
学生练习并交流。
3.小结：根据计算公式列方程解应用题。
[说明：让学生通过尝试、分析、交流、比较的探究活动，进一步体会用方程解的优越性。探究活动开始，先让学生尝试练习，学生会出现方程和算术两种解法；后小组比较、大组交流，让学生自己来解决问题。其主要目的是通过方程与算术解法的比较，让学生体会用方程解的'优越性，特别是列方程时的优越性。]
三、巩固练习
1.只列方程不求解
（1）有一个长方形的面积是3600㎡，宽是40m，长应是多少米？
（2）已知长方形的周长是26厘米，它的长是8厘米，它的宽应是多少厘米？
（3）已知正方形的周长是100厘米，它的边长是多少厘米？
2.练一练：列方程解应用题
（1）长方形游泳池占地600平方米，长30米，游泳池宽多少米？
（2）面积为15平方厘米的三角形纸片的底边长6厘米，这条底边上的高是多少厘米？
（3）一块梯形草坪的面积是30平方米，量得上底长4米，高6米，它的下底长多少米？
（学生练习并交流。）
3.总结：列方程解应用题的一般步骤。
四、课堂总结
1.通过这堂课的学习，你有什么收获？还有什么问题？
2.布置作业：练习册
